Решетчатые функции и разностные уравнения

Приведенная непрерывная часть реагирует лишь на дискретные значения непрерывного сигнала в моменты квантования nT. Поэтому непрерывную функцию x(t), описывающую непрерывный сигнал, можно заменить соответствующей решетчатой функцией

при ;

при ,

где

Таким образом, для того чтобы получить решетчатую функцию по заданной непрерывной функции x(t), нужно в последней заменить t на nТ (рис. 2.53). Решетчатые функции описывают «порождающие» их непрерывные

Рис. 2.53. Функция x(t) и ее решетчатая функция x(nT)

функции только в дискретные моменты времени, совпадающие с моментами квантования. В промежутках между моментами квантования информация об изменениях непрерывных функций отсутствует. Если интервал квантования Т задан, то по функции x(t) решетчатая функция x(nT) определяется однозначно. Обратное утверждение несправедливо. Для выявления поведения непрерывной функции между моментами квантования вводят промежуточное фиксированное время Dt = s. В этом случае непрерывную функцию x(t) можно заменить смещенной решетчатой функцией

при ,

Изменяя от 0 до Т, можно получить семейство решетчатых функций x(nT, sT), , определяющее функцию x(t) при всех значениях t.

При исследовании непрерывных систем пользуются дифференциальными уравнениями, определяющими связь между непрерывной функцией x(t) и ее производными d^kx(t)/dt^k. Аналогично, соотношение между решетчатой функцией х(n) и ее разностью D^kx(n) определяет уравнение в конечных разностях или разностное уравнение. Если это соотношение линейно, то разностное уравнение называется линейным.

Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами можно представить в форме

либо

где f(n) — известная решетчатая функция, х(п) — искомая решетчатая функция, представляющая собой решение разностного уравнения.

Данное разностное уравнение, содержащие x(n) и x(n+k), называется разностным уравнением k -ого порядка.. Классические методы решения разностных уравнений во многом аналогичны классическим методам решения дифференциальных уравнений.

Решение разностного уравнения дает значения выходной величины лишь в дискретные моменты времени t=nT. Во многих случаях этого вполне достаточно для суждения о поведении системы. Если же возникает необходимость в получение информации выходной величины в любой момент времени, то используется смещенная последовательность.

В том случае, когда f(n)º0, уравнения и называются однородными.