Использование z-преобразований

Для последовательностей f(n) может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемого формулой

В формуле, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина s = c + jw, где с – абсцисса абсолютной сходимости. Если с < ¥, то ряд, определяемый формулами, сходится и оригиналу f(n) соответствует некоторое изображение.

Для исследования импульсных систем большое распространение получило z-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него.

Под z- преобразованием понимается изображение последовательности, определяемое формулами

В этой формуле введено новое обозначение .

Основные правила и теоремы применительно к z-преобразованию являются также справедливыми для дискретного преобразования Лапласа.

Если изображение F(z) представляет собой простейшую табличную форму, то переход к оригиналу не представляет трудности. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени, тогда можно воспользоваться таблицей Z-преобразования для получения оригинала от каждой простой дроби.

Кроме того, если F(z) представляет собой отношение двух многочленов , то можно воспользоваться аналогом формулы разложения Хэвисайда, используемой для непрерывных систем.

,

где – производная A(z) по z, а – корни знаменателя (i =1, 2, …l).

В зависимости от степеней полиномов числителя, знаменателя F(z) и от корней выражение формулы разложения может меняться [1].

Кроме того, F(z) можно разложить в ряд Лорана(ряд по убывающим степеням z)

,

где C₀=f(0), C₁=f(1), C₂=f(2), … C_к=f(к) и так далее.

Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно. Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель.

Применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала f(n) или f(n, ε) в дискретных точках без нахождения полюсов изображений F(z).