Пример 3.Решить игру с матрицей выигрышей

Решение. Поскольку все числа матрицы выигрышей кратны 15, то можно перейти к другой матрице В, такой что b_ij=a_ij/15. Оптимальное решение при этом не измениться, а полученная цена игры .

Проверим, есть ли седловая точка и мажорируемые стратегии.

Нижняя цена игры , верхняя цена игры . , следовательно, седловой точки нет. Решение ищем среди смешанных стратегий.

Мажорируемых строчек нет (- 2 < 8; 3 > - 1; 4 > - 2). Мажорируемых столбцов нет (- 2 < 3; 8 > - 1), (- 2 < 4; 8 > - 2) и (3 < 4; - 1 > - 2).

Решение начинаем с игрока, у которого ровно две стратегии. В данном случае, с первого игрока. Для него ищем смешанную стратегию , где 0 £ р £ 1.

Строим три прямых, изображающих средние выигрыши первого игрока, когда второй игрок выбирает одну из трех своих чистых стратегий: В₁В₁: = -2р + 8(1-р),

В₂В₂: = 3р -1(1-р),

В₃В₃: =4р – 2(1-р). (рис. 2.9)

Рис.2.9. Решение игры для первого игрока

Нижняя огибающая в данном случае состоит из трех кусков: В₃NMB₁. Наивысшая точка нижней огибающей M определяет решение первого игрока. Для нахождения её координат необходимо решить систему уравнений, пересечением которых она является. В данном случае - это прямые В₁В₁ и В₂В₂:

М(9/14;22/14) .

Для второго игрока ищем смешанную стратегию , где 0 £ q_1,2,3 £ 1. Какие две из трех стратегий второго игрока будут активны, зависит от вида нижней огибающей первого игрока.

Общее правило таково: если наивысшая точка нижней огибающей первого игрока является точкой пересечения k-ой и l-ой прямых, то оптимальная смешанная стратегия второго игрока содержит ненулевые компоненты на k-ом и l-ом местах. Остальные компоненты равны нулю. Аналогично для игры mx 2: если низшая точка верхней огибающей второго игрока является точкой пересечения k-ой и l-ой прямых, то оптимальная смешанная стратегия первого игрока содержит ненулевые компоненты на k-ом и l-ом местах. Остальные компоненты равны нулю.

Поскольку в нашем случае точка М была получена пересечением первой и второй прямых, то, соответственно, в векторе будет ненулевые компоненты на первом и втором местах (активные первая и вторая чистые стратегии), третья равна нулю. Т.е. оптимальную смешанную стратегию второго игрока ищем в виде: .

Строим две прямые, изображающие средние проигрыши второгоигрока, когда первый игрок выбирает одну из двух своих чистых стратегий: A₁A₁: = -2q + 3(1-q) + 4*0 и

A₂A₂: = 8q -(1-q) – 2*0. (рис.2.10)

Рис.2.10. Решение игры для второго игрока

Низшая точка верхней огибающей N определяет решение второго игрока. Для нахождения её координат необходимо решить систему уравнений этих прямых:

N(4/14;22/14) .

Учтем, что решалась игра В, поэтому цена игры А будет равна , т.е. .

Ответ: .