Решение игр размерности 2x2

В случае если в матричной игре у игроков ровно две стратегии, игра допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Игра в этом случае задана платежной матрицей

.

Решение в смешанных стратегиях ищется в виде: , где 0 £ р £ 1 для первого игрока и , 0 £ q £ 1 для второго игрока.

Решение ищется в два этапа, сначала находим решение первого игрока.

По горизонтальной оси р откладывается единичный отрезок, соответствующий интервалу 0 £ р £ 1. Каждая его точка соответствует какой-либо смешанной стратегии (р; 1-р), а крайние точки р = 0 и р = 1 – чистым стратегиям А₂ и А₁ соответственно.

На вертикальной оси откладывается средний выигрыш первого игрока при выборе им какой-либо стратегии. Средний выигрыш первого игрока при использовании им смешанной стратегии (р; 1-р), в случае выбора вторым игроком чистых своих стратегий В₁ и В₂ равен и

соответственно.

Поскольку выигрыши представляют собой линейные функции, то для графического изображения каждой из прямых достаточно отметить две точки: при р = 0 и при р = 1, и соединить их по прямой. Например, прямая В₁В₁ проходит через точки (0, а₂₁), (1, а₁₁); прямая В₂В₂ проходит через точки (0, а₂₂), (1, а₁₂). В случае, если в игре нет доминируемых стратегий и седловой точки, получим две пересекающиеся прямые. (рис. 2.5)

Рис.2.5. Решение игры 2x2 для первого игрока

Поскольку первый игрок выбирает свою оптимальную стратегию исходя из принципа максимина, т.е. выбирает такую смешанную стратегию , при которой достигается максимум из всех минимально возможных средних выигрышей:

.

Все минимальные средние выигрыши первого игрока располагаются на ломаной В₁NВ₂ (нижняя огибающая). Наивысшая её точка N(; ) и будет определять оптимальную смешанную стратегию первого игрока.

Аналогично находится оптимальная стратегия второго игрока.

По горизонтальной оси q откладывается единичный отрезок, соответствующий интервалу 0 £ q £ 1. Каждая его точка соответствует какой-либо смешанной стратегии (q; 1-q), а крайние точки q = 0 и q = 1 – чистым стратегиям B₂ и B₁ соответственно.

На вертикальной оси откладывается средний проигрыш второго игрока при выборе им какой-либо стратегии. Средний проигрыш второго игрока при использовании им смешанной стратегии (q; 1-q), в случае выбора первым игроком чистых своих стратегий А₁ и А₂ равен и

соответственно.

Проигрыши второго игрока также можно изобразить двумя прямыми: прямая А₁А₁ проходит через точки (0, а₁₂), (1, а₁₁); прямая А₂А₂ проходит через точки (0, а₂₂), (1, а₂₁). В случае, если в игре нет доминируемых стратегий и седловой точки, получим две пересекающиеся прямые. (рис. 2.6)

Рис.2.6. Решение игры 2x2 для второго игрока

Поскольку второй игрок выбирает свою оптимальную стратегию исходя из принципа минимакса, т.е. выбирает такую смешанную стратегию , при которой достигается минимум из всех максимально возможных средних проигрышей:

.

Все максимальные средние проигрыши второго игрока располагаются на ломаной А₂NА₁ (верхняя огибающая). Самая нижняя её точка N(; ) и будет определять оптимальную смешанную стратегию второго игрока.