Решение. 1. Определим экономический смысл коэффициентов выигрышей в платёжной матрице задачи

1. Определим экономический смысл коэффициентов выигрышей в платёжной матрице задачи. Каждое предприятие стремится к максимизации прибыли от производства продукции. Но, кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок продукции в регионе. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут значения разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. В случае, если эта разница положительна, выигрывает предприятие 1, а в случае, если она отрицательна – предприятие 2.

2. Рассчитаем коэффициенты выигрышей платёжной матрицы. Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. Прибыль предприятия в данной задаче зависит:

- от цены и себестоимости продукции;

- от количества продукции, приобретаемой населением региона;

- от доли продукции, приобретённой населением у предприятия.

Таким образом, значения разницы прибыли предприятий, соответствующие коэффициентам платёжной матрицы, необходимо определить по формуле:

D = p×S×(R₁-C₁) – (1-p) ×S×(R₂-C₂),

где D – значение разницы прибыли от производства продукции предприятия 1 и предприятия 2;

p – доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением региона;

S – количество продукции, приобретаемой населением региона;

R₁ и R₂ - цены реализации единицы продукции предприятиями 1 и 2;

C₁ и C₂ – полная себестоимость единицы продукции, произведённой на предприятиях 1 и 2.

Вычислим один из коэффициентов платёжной матрицы.

Пусть, например, предприятие 1 принимает решение о производстве продукции в соответствии с технологией III, а предприятие 2 – в соответствии с технологией II. Тогда цена реализации единицы продукции для предприятия 1 составит 2 д.е. при себестоимости единицы продукции 1,5 д.е. Для предприятия 2 цена реализации единицы продукции составит 6 д.е. при себестоимости 4 д.е. (табл. 2.1).

Количество продукции, которое население региона приобретёт при средней цене 4 д.е., равно 4 тыс. ед. (таблица 2.2). Доля продукции, которую население приобретёт у предприятия 1, составит 0,85, а у предприятия 2 – 0,15 (табл. 2.3). Вычислим коэффициент платёжной матрицы a₃₂ по приведенной выше формуле:

a₃₂ = 0,85×4×(2-1,5) – 0,15×4×(6-4) = 0,5 тыс. ед.

где i=3 – номер технологии первого предприятия, а j=2 – номер технологии второго предприятия.

Аналогично вычислим все коэффициенты платёжной матрицы:

a₁₁ = 0,31×1×(10-5) – 0,69×1×(10-8) = 0,17;

a₁₂ = 0,33×2×(10-5) – 0,67×2×(6-4) = 0,62;

a₁₃ = 0,18×3×(10-5) – 0,82×3×(2-1) = 0,24;

a₂₁ = 0,7×2×(6-3) – 0,3×2×(10-8) = 3;

a₂₂ = 0,3×3×(6-3) – 0,7×3×(6-4) = -1,5;

a₂₃ = 0,2×4×(6-3) – 0,8×4×(2-1) = -0,8;

a₃₁ = 0,92×3×(2-1,5) – 0,08×3×(10-8) = 0,9;

a₃₂ = 0,85×4×(2-1,5) – 0,15×4×(6-4) = 0,5;

a₃₃ = 0,72×5×(2-1,5) – 0,28×5×(2-1) = 0,4.

В платёжной матрице стратегии A₁, А₂, A₃ – представляют собой решения о выборе технологии производства продукции предприятием 1, стратегии B₁, В₂, B₃ – решения о выборе технологи производства продукции предприятием 2, коэффициенты выигрышей – разница прибыли предприятия 1 и предприятия 2.

	B1	B2	B3	minj
A1	0,17	0,62	0,24	0,17
A2		-1,5	-0,8	-1,5
A3	0,9	0,5	0,4	0,4
maxi		0,62	0,4

Рис. 2.4. Платёжная матрица в игре «Борьба двух предприятий за рынок продукции региона»

В данной матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий. Это значит, что для обоих предприятий нет заведомо невыгодных технологий производства продукции. Определим минимальные элементы строк матрицы. Для предприятия 1 каждый из этих элементов имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Минимальные элементы матрицы по строкам имеют значения: 0,17; -1,5; 0,4.

Определим максимальные элементы столбцов матрицы. Для предприятия 2 каждый из этих элементов также имеет значение гарантированного максимального проигрыша при выборе соответствующей стратегии. Максимальные элементы матрицы по столбцам имеют значения: 3; 0,62, 0,4. Нижняя цена игры в матрице равна 0,4. Верхняя цена игры также равна 0,4. Таким образом, нижняя и верхняя цена игры в матрице совпадают, т. е. имеем игру с седловой точкой (обведена на рис.2.4). Это значит, что имеется технология производства продукции, которая является оптимальной для обоих предприятий в условиях данной задачи. Эта технология III, которая соответствует стратегиям A₃ предприятия 1 и B₃ предприятия 2. Стратегии A₃ и B₃ – чистые оптимальные стратегии в данной задаче.

Значение разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 при выборе чистой оптимальной стратегии положительно. Это означает, что предприятие 1 выиграет в данной игре. Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс. д.е. При этом на рынке будет реализовано 5 тыс. ед. продукции (реализация равна спросу на продукцию, таблица 2.2). Оба предприятия установят цену за единицу продукции в 2 д.е. При этом для первого предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 1,5 д.е., а для второго – 1 д.е (таблица 2.1). Предприятие 1 окажется в выигрыше лишь за счёт высокой доли продукции, которую приобретёт у него население.