Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях

Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учётом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для первого игрока необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину

.

Другими словами, нужно найти минимальные значения по каждой из строк платёжной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина называется максимином матрицы или нижней ценой игры.

Величина выигрыша первого игрока равна, по определению матричной игры, величине проигрыша второго игрока. Поэтому для второго игрока необходимо определить значение

.

Другими словами, нужно найти максимальные значения по каждому из столбцов платёжной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина называется минимаксом матрицы или верхней ценой игры.

В случае, если значения и не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов a_ij) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве = = V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях или игра имеет седловую точку, а стратегии А_i и B_j, в которых достигается V называются оптимальными чистыми стратегиями. Точка (А_i;B_j) – седловой точкой. Величина V называется чистой ценой игры.

Например, в матрице (рис. 2.2) существует решение в чистых стратегиях.

	B1	B2	B3	B4	minj
A1				4	4
A2
A3				2
maxi

Рис. 2.2. Платёжная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях

При этом для первого игрока оптимальной чистой стратегией будет стратегия A₁, а для второго игрока – стратегия B₄.

В матрице (рис. 2.3) решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры достигается в стратегии A₁ и её значение равно 2, в то время как верхняя цена игры достигается в стратегии B₄ и её значение равно 3.

	B1	B2	B3	B4	minj
A1
A2
A3				2
maxi

Рис. 2.3. Платёжная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях