Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичная форма называется канонической, она не содержит произведений различных переменных, т.е. если все ее коэффициенты при :

,

а ее матрица является диагональной.

Квадратичная форма называется нормальной (или имеет нормальный вид), если , т.е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны или +1 или –1:

,

а ее матрица является диагональной.

Например, квадратичная форма имеет канонический вид, а квадратичная форма имеет нормальный вид.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду

где – новые переменные.

Некоторые из коэффициентов могут оказаться равными нулю. Число отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангу r матрицы квадратичной формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к нормальн ому виду

где – новые переменные, число которых равно рангу формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

Решение.

Выделим полный квадрат при переменной х ₁:

Аналогично выделим полный квадрат при переменной х ₂:

Итак, невырожденное линейное преобразование имеет вид:

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, т.к. одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду несколькими способами.

10.6. Закон инерции квадратичных форм

Теорема. Число положительных и отрицательных квадратов в нормальной форме, к которому приводится данная квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования не зависит от выбора преобразования.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная квадратичная форма, называется положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции этой формы.

Разность между положительным и отрицательным индексами инерции называется сигнатурой квадратичной формы.

Теорема. Две действительные квадратичные формы тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

10.7. Знакоопределенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если () при всех значениях переменных , из которых хотя бы одно отлично от нуля.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных (отрицательных) квадратов:

- положительно определенная квадратичная форма

- отрицательно определенная квадратичная форма.

Пусть дана квадратичная форма с матрицей А.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения l _i матрицы А были положительны (отрицательны).

Для установления знакоопределенности квадратичной формы применяют критерий Сильвестра.

Теорема(критерий Сильвестра).

1. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны, т.е. ∆₁>0, ∆₂>0, …, ∆ _n >0, где

.

Главными минорами квадратичной формы называют миноры порядка 1, 2,.., n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, причем последний из них совпадает с определителем матрицы.

2. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного порядка – отрицательны.

Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Если квадратичная форма знакоопределенная, то все главные миноры ее матрицы отличны от нуля.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются полуопределенными.

Неопределенными называют квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

Пример. Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной.

Решение.

1 способ. Матрица А квадратичной формы имеет вид

.

Для этой матрицы характеристическое уравнение имеет вид

.

Это уравнение имеет корни l₁ = 14, l= 4. так как корни положительны, то квадратичная форма положительно определенная.

2 способ. Найдем главные миноры данной матрицы

Так как главные миноры матрицы А положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма положительно определенная.