Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, проходящая через точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку и любую точку поверхности, стремится к нулю, когда точка стремится к точке .

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Если поверхность задана явно функцией и в точке существуют конечные частные производные этой функции, то уравнение касательной плоскости имеет вид:

, (4.1)

а уравнение нормали:

. (4.2)

Если поверхность задана неявно уравнением и в точке частные производные функции конечны и не обращаются в нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке записывается в виде

, (4.3)

а уравнение нормали к поверхности:

. (4.4)

Пример 4.1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Вычислим частные производные функции в точке :

, .

Согласно формулам (4.1) и (4.2) получим соответственно уравнение касательной плоскости: или , и уравнение нормали: .