Производная сложной и неявной функции

Пусть – функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной , т.е. , .

Если – дифференцируемая в точке функция, а аргументы и – дифференцируемые функции независимой переменной , т.е. и , то производная сложной функции одной переменной вычисляется по формуле

(3.1).

Если переменная совпадает с одним из аргументов или , например , то производная сложной функции одной переменной находится по формуле

(3.2)

и называется полной производной.

Если – функция двух переменных и , а аргументы , являются функциями двух переменных , т.е. и , то функция является функцией двух переменных . Тогда её частные производные и выражаются так:

и . (3.3)

Пример 3.1. Найти полную производную , если и , .

Решение. Найдем частные производные

, , , .

Согласно формуле (3.1) получим:

.

Пример 3.2. Найти частные производные и сложной функции , если , .

Решение. Найдем частные производные

, ,

, , , .

По формулам (3.3) получим:

;

.

Пусть функция от задается неявно с помощью уравнения .Тогда производная неявной функции , где – дифференцируемая функция переменных и , вычисляется по формуле

, при условии . (3.4)

Аналогично, если неявная функция двух переменных задаётся с помощью уравнения , где – дифференцируемая функция переменных , и , то её частные производные определяются по формулам

, , при условии . (3.5)

Пример 3.3. Найти производную , если неявная функция задана уравнением .

Решение. Здесь .

Найдем , .

Тогда получим .

Пример 3.4. Найти частные производные и , если неявная функция задана уравнением .

Решение. Здесь .

Найдем , , .

Тогда и .