Общий случай математической постановки задачи оптимизации

Задача оптимизации в общем случае, включающая три компоненты (целевую функцию F, ограничение g_i

и граничные условия), имеет следующую математическую постановку.

F=f(x₁,x₂,...,x_n)→max (min)

g₁(x₁,x₂,...,x_n) {≤, =, ≥}d₁;

........................................ или F=f(x_j ) →max (min)

g₁(x₁,x₂,...,x_n) {≤, =, ≥}di; g_i (x_j) {≤,=, ≥}d_i

a_j ≤ x_j ≤ b_j; i = 1,m, j=1,n

........................................

g_m(x₁,x₂,...,x_n) {≤, =, ≥}d_m ;

a_j ≤ x_j ≤ b_j; i= 1,m, j = 1,n,

где a_j и b_j – нижнее и верхнее предельно допустимые значения x_j

Граничные условия показывают предельно допустимые значения искомых переменных, и в общем случае они могут быть двухсторонними типа aj ≤ xj ≤ bj.

Ограничения обычно выражают определенные зависимости между переменными величинами, которые по своей сути могут быть теоретическими (формульными) и статистическими. Теоретические справедливы при любых условиях. На практике же приходиться сталкиваться с необходимостью сбора и обработки статистических данных. Например, при желании оптимизировать использование общественного транспорта города в течении суток. При этом надо знать как распределен пассажиропоток во времени.

Значения переменных, удовлетворяющие заданным граничным условиям и ограничениям, называют допустимым решением задачи.

Если в задачу включаются противоречивые по смыслу требования, выполнить которые невозможно то задачу считают несовместной. Правильно же составленная задача имеет набор допустимых решений. Чтобы из данного набора допустимых решений ЛПР могло выбрать одно оптимальное (от латинского optimus – наилучший), необходимо договориться как и по какому признаку его найти. ЛПР должно абсолютно точно представлять, в чем заключается оптимальность принимаемого решения, т.е по какому критерию принимаемое решение должно быть оптимально.

Критерий часто называют целевой функцией, функцией цели, а в математических работах – функционалом. Если при принятии решения максимизировать какое – то свойство (прибыль, производительность и т.п.), то в результате решения задачи критерий будет иметь наибольшее значение из всех допустимых решений. Если же требуется минимизировать (стоимость, расход материала, время простоя оборудования), то в результате решения критерий будет иметь наименьшее значение из всех допустимых.