Математические модели принятия решений

Математические модели принятия решений можно разбить на два больших класса – оптимизационные и теоретико-игровые. Оптимизационные модели “ уходят корнями “ в классический математический анализ и имеют весьма “почтенный” возраст. Теоретико-игровые модели начали исследоваться лишь в последние десятилетия.

Наиболее общий подход к описанию задач принятия решений (ЗПР) формируется “на языке систем”.Приведем системное описание задач принятия решений.

Пусть имеется некоторая система, в которой выделим управляемую подсистему, управляющую подсистему и среду. При этом управляющая подсистема может воздействовать на объект управления (управляемую подсистему) с помощью различных управляющих воздействий (рис 1) Состояние объекта управления определяется двумя факторами: выбранным управляющим воздействием со стороны управляющей подсистемы и состоянием среды. Важно следующее: управляющая подсистема не может воздействовать на среду и, более того, она, как правило, не имеет полной информации о наличном состоянии среды.

Целью управляющей подсистемы является – перевести объект управления в наиболее предпочтительное для себя состояние. Для достижения этой цели управляющая подсистема может использовать любое находящееся в ее распоряжении управляющее воздействие.

рис.1.1.

Выбор управляющей подсистемой управляющего воздействия называется принятием решения. Принятие решения является центральным моментом всякого управления.

рис.1

При принятии решения основной задачей является нахождение оптимального решения. Т.е. решение в наибольшей степени соответствующего цели управляющей подсистемы в рамках имеющейся у нее информации о состоянии среды. Математическая модель принятия решения представляет собой формализацию той схемы, которая приведена в системном описании ЗПР. Для построения математической модели принятия решения необходимо задать следующие три множества: Χ – множество допустимых альтернатив (стратегий, вариантов, действий, решений, планов и т.д.),

Υ – множество возможных состояний среды,

Α – множество возможных исходов.

(Предполагается, что множество Х содержит не менее двух альтернатив – иначе надобность в принятии решения отпадает)

Так как состояние управляемой подсистемы (т.е. исходы) полностью определяется выбором управляющего воздействия (т.е. альтернатив) и состоянием среды, то каждой паре (x, y), где xÎX, yÎY, соответствует определенный исход aÎA. То есть, существует функция F: Х × Y → A, которая называется функцией реализации. Функция реализации каждой паре вида (x, у), то есть (альтернативы, состояние среды) ставит в соответствие определяемый ею исход.

Набор объектов (X, Y, A, F) составляет реализационную структуру ЗПР. Реализационная структура отражает связь между выбираемыми альтернативами и исходами. Такая связь не является однозначной, т.к явление того или иного конкретного исхода зависит не только от выбранной альтернативы, но и от наличного состояния среды. Таким образом, имеется, как принято говорить, неопределенность стратегического типа; эта неопределенность создается за счет воздействия среды на объект управления. Реализационная структура задачи принятия решения составляет ее первую компоненту. Вторая компонента ЗПР называется ее оценочной структурой. Если реализационная структураопределяет возникший результат, то оценочная структура указывает оценку этого результата с точки зрения принимающего решения.

В математической модели ЗПР оценочная структура может задаваться различными способами.

Например, если принимающий решение может оценить эффективность каждого исхода a A некоторым числом φ(a), то оценочная структура задается в виде пары <A,φ>, где φ: A → R; при этом φ называется оценочной функцией.

Другой способ задания оценочной структуры состоит в указании отношения предпочтения исходов, что сводится к перечислению пар исходов (a_1, a₂) для которых a₁ лучше, чем a₂ (записывают a_{1 >} a_2, читают a₁ предпочтительнее, чем a₂)_.

Замечание: Иногда используется запись a_{1 ≥} a_2, которая читается: “a₁ не менее предпочтителен, чем исход a_{2 “.}

Еще один способ задания оценочной структуры – разбиение множества исходов A на два класса:

A₀ – класс “плохих” исходов и A₁ – класс “хороших” исходов. Существуют и другие способы создания оценочной структуры в виде оценочной функции φ.

Целевая функция f есть композиция функции реализации F и оценочной функции φ, то есть f = φ• F

Таким образом, f (x,y) = φ (F(x,y)).

Число f (x,y) есть оценка полезности того исхода, который возникает в ситуации когда он выбирает альтернативу x, а среда принимает состояние y.

Замечание: 1. В некоторых задачах принятия решения оценка исхода является выражением затрат убытков и т.п. В этом случае целевая функция f называется функцией потерь.

2. При построении моделей принятия решений невозможно, однозначно, указать что является средой. Полезно руководствоваться принципом: среда – это то, что определяет при каждой фиксированной альтернативе появление того или иного исхода.

Методика исследования задач принятия решений на основе математического моделирования состоит в реализации следующих трех этапов.

Этап1. Построение математической модели ЗПР.

Этап2. Формировка принципа оптимальности и нахождение оптимального решения.

Этап3. Анализ полученных результатов.

Первый этап рассмотрен выше.

Реализация второго этапа связана с выведением принципа оптимальности. Т.к. оптимального решения для любой ЗПР не существует, то рассматривают отдельные классы задач принятия решений и для каждого класса формируют свой принцип оптимальности.

Следует отметить, что для ЗПР данного класса может существовать несколько оптимальных решений. Это объясняет необходимость третьего этапа, который состоит в анализе полученных результатов. Анализ заключается в соотнесении формально полученных рекомендаций с требованием ЗПР. Если оптимальное решение, по каким либо причинам, оказывается неприемлемым, то это приводит либо к выбору другого оптимального решения (если оно имеется), либо к смене принципа оптимальности, либо к изменению самой математической модели ЗПР.

Вопросы для самоконтроля по главе

1. Определите понятие “правильного” и “наилучшего” решения.

2. Какова роль человека в процессе принятии решений?

3. Приведите пример групп принимающих решения.

4. Укажите на различия понятий «эксперт» и «специалист» в процессе принятия решений.

5. Дайте определение понятия “альтернатива”.

6. Дайте определение понятия “ критерий”.

7. На языке “систем” опешите ЗПР.

8. Какие три множества необходимо задать для построения математической модели принятия решения.

9. Дайте определение функции реализации.

10. Перечислите способы задания оценочной структуры.

11. Дайте определение целевой функции.