ЗАДАЧА 8.2. Моделирование и прогнозирование экономических массовых процессов с использованием корреляционно-регрессионного анализа и метода наименьших квадратов (МНК)

Дано: Имеются данные статистического наблюдения о средних затратах ряда предприятий города на капитальный ремонт оборудования (у_i^ф – тыс. руб.) в зависимости от срока службы (периода эксплуатации) этого оборудования (х_i^ф – лет). Данные наблюдения приведены в таблице 8.3 (графы 2 и 3).

Необходимо: 1) Разработать (синтезировать) и построить с обоснованием практической значимости адекватную математическую модель массового экономического процесса в хозяйственной деятельности предприятий – зависимость затрат предприятия на ремонт производственного оборудования (у_i) и его срока службы (х_i).

2) Для построения и обоснования математической модели использовать корреляционно-регрессионный анализ исследуемой зависимости и метод наименьших квадратов (МНК).

3) Построить линейный график корреляционной зависимости типа y=f(x) в виде ломаной линии (по фактическим данным х_i^ф и у_i^ф) и ее теоретического аналога (модели) – прямой линии (Рис. 1).

4) Аналитически и графически определить время начала необходимости капитального ремонта оборудования (значение х_{нач. рем.} при у_х=0).

5) Методами интерполяции (и) и экстраполяции (э), с целью нормирования и планирования затрат предприятия на ремонт оборудования (х_и^т и у_э^т), дать прогноз затрат по заданному времени эксплуатации оборудования в области фактической (известной) статистики (данные наблюдения), например, при х_и=6,5 лет и вне этой области – при х_э=12 лет.

6) Построить макет сложной аналитической таблицы 1 и внести в нее фактические данные статистического наблюдения – х_i^ф и у_i^ф (графы 2 и 3).

7) Построить линейный график (Рис. 1) корреляционной зависимости (связи) х_i^ф и у_i^ф вида y=f(x)+ ξ (1), где ξ – величина влияния на у_х суммы случайных факторов. Нанести на график (используя шкалы осей координат у и х и «сетку графика») соответствующие координатам х_i^ф и у_i^ф и соединить их прямыми линиями в непересекающуюся ломаную линию (у_х^ф).

8) По характеру построенной ломаной линии определить предполагаемую теоретическую линию аппроксимации (выравнивания ломаной); в данной задаче – принимаем прямую линию и ее аналитическое выражение у_х = а₀ + а₁х (2). Преобразовать (синтезировать) уравнение прямой (2) в теоретическую зависимость затрат на ремонт оборудования от его срока службы, подставив в (2) фактические значения х_i^ф : у_i^т = а₀ + а₁х_i^ф

Таблица 8.3. Данные для расчета показателей уравнения регрессии.

№ п/п	хiф	уiФ	xiּyi	xi2	yi2	÷xi- ÷	(xi- )2	уiт	÷уiт- уiФ÷	(уiт-уiФ)2
						(-)3		4.01	1.99	3.96
								4.01	1.01	1.02
								6.64	2.36	5.60
								9.27	1.27	1.61
								9.27	0.73	0.53
								11.90	0.10	0.01
								14.53	1.53	2.34
								17.16	6.16	37.95
								19.79	1,79	3.20
								22.42	6,58	43.30
Σ:						-		-	-	99.94

Примечание:

1) x_i-годы (лет); y_i-тыс. руб. Принимаем: Σ (у_i^т-у_i^Ф)²≈100.

(Кв = (Nсп + 10)/ 100; прибавить Кв ко всем у_i^Ф – графа 3 таблицы)

Решение: Уравнение (3) есть уравнение регрессии, т.е. синтезированная математическая модель исследуемого экономического массового процесса – зависимости затрат предприятия на ремонт оборудования от его срока эксплуатации, параметры которого определяются по формулам (16) (см лекцию …):

; .

Параметры a₀ и а₁ можно определить путем подстановки соответствующих сумм в уравнение (4) по данным таблицы 1.

2) Рассчитаем a₀ и а₁ по уравнениям (8). По уравнению регрессии (3) определить теоретические значения затрат на ремонт оборудования (у^т) и другие показатели таблицы 1 и внесем результаты расчетов в соответствующие графы таблицы 1. По данным таблицы 1: xср = Σх_i / n = 70 / 10 = 7 лет;

; ; ; ; ; ; Σ (у_i^т - у_i^ф)² = 100.

3) Подставим рассчитанные суммы из таблицы 1 в уравнения системы (7):

Принимаем: а₀=-6,51; а₁=2,63: у_1,2^т= а₀ + а₁х₁^ф= -6,51+2,63*4= 4,01 тыс. руб., т.д.

у₁₀^т= а₀ + а₁х₁₀^ф= -6,51+2,63*11=22,42 тыс. руб.

4) В поле графика (рис.1) построим теоретическую прямую линию исследуемой зависимости у_i^т (3) по координатам у_i^т х_i^ф.

5) По t_кр – критерию Стьюдента обосновать практическую значимость синтезированной по уравнению прямой (2) регрессионной модели (3) и ее параметров а₀=-6,51 (без учета знака); а₁=2,63 с учетом условия t_a0>t_кр<t_a (8). По вероятностной таблице для коэффициента значимости α =0,05 и количества степеней свободы к_св = n – 2 = 10 – 2 = 8 t_кр=2,3 (с вероятностью P_t=0,95). Фактические значения t-критерия определить по формулам:

;

;

.

Вывод: условие типичности выполняется: t_a0=5.83>t_кр=2.3<t_a1=5.46.

Следовательно, уравнение регрессии (3) и его параметры a₀ и a₁ являются (признаются) типичными, т. к. с достаточной степенью вероятности (P=0.95) определяют корреляционную зависимость затрат предприятия на ремонт оборудования у_i^T от его срока службы х_i^ф.

6) Для определения показателя тесноты и характеристики силы корреляционной связи между у_i^Т и х_i^ф определить коэффициент корреляции (r) и коэффициент детерминации (r²) для прямолинейной зависимости:

(10)

Соответственно: (11)

Рис 8.2. График зависимости y = F(x) + ξ

(масштаб шкал OX: OY- 1:2);

7) Оценить значимость вычисленного коэффициента корреляции r=0.88 по t-критерию Стьюдента при условии t_r>t_кр=2.3 и по шкале Чеддока (таблица 8.4.). Фактическое значение t-критерия r: (13)

Следовательно, условие значимости r выполняется: t_r=3.12>t_кр=2.3

8) По шкале Чеддока коэффициент корреляции r=0.88 определяет корреляционную связь между у_i^Т и х_i^ф как «высокую».

Таблица 8.4. Шкала Чеддока

Теснота связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	Весьма высокая

Вывод: величина r=0.88 является существенной, а связь между у_i^Т и х_i^ф - «высокой». На основании коэффициент детерминации r²=0,774 с высоким уровнем доверительной вероятности (Р = 0.95) можно утверждать, что 77,4% общей вариации результативного признака у_i (затрат на ремонт оборудования) объясняется (детерминировано) изменением факторного признака х_i (срока службы оборудования). При этом 22,6% общей вариации (100% - 77,4%) у_i вызвано влиянием суммы случайных факторов, т.е. ξ = 22,6% [ у_i = f(x) + ξ)].

9) Следовательно, синтезированная по уравнению прямой линии математическая модель(3) - у^т_i = - 6,57+2,62 х^ф является типичной и может быть использована для практических целей прогнозирования и планирования затрат предприятия на ремонт оборудования (у_i) в зависимости от его срока службы (х_i).

10) Теоретически и графически определим время начала необходимости капитального ремонта оборудования (х_{нач. рем.}) по уравнению (3) при у_x=0:

, откуда года.

11) Определим по уравнению регрессии (3) методами интерполяции (И) и экстраполяции (Э) прогноз затрат предприятия на ремонт оборудования при х_и=6,5 лет и х_э=12 лет:

у_и = а₀ + а₁х_и = -6,51 + 2,63 * 6,5 = 10,59 тыс. руб.,

у_э = а₀ + а₁х_э = -6,51 + 2,63 * 12 = 25,05 тыс. руб.

Нанесем на график (рис 1) пунктирными линиями вычисленные координаты у_и^т х_и и у_э^т х_э..