Введение. Допустим, что для проведения численных расчетов нам представили данные, полученные из измерений ( наблюдений

Допустим, что для проведения численных расчетов нам представили данные, полученные из измерений (наблюдений, эксперимента). Так как никакое измерение не может быть произведено абсолютно точно, значит исходные данные содержат некоторую погрешность. Погрешности в исходных данных затем переходят в определяемые по этим данным искомые величины, хотя вычисления мы будем проводить по совершенно точным формулам и с абсолютной точностью. Отсюда ясно, что для прикладных вопросов нет необходимости производить вычисления по абсолютно точным формулам и с совершенною точностью. Можно пользоваться и неточными формулами и расчеты проводить не абсолютно точно, лишь бы погрешность результата не превышала тех пределов, которые в данном случае допускаются. Как получить результат с достаточной точностью при наименьшей затрате труда и времени? Дадим понятие о точности какого-либо результата.

Разность между истинным и приближенным значением какой-либо величины называется абсолютной погрешностью этого значения. Абсолютная погрешность недостаточно характеризует достоинство результата. Например, если сказать, что погрешность измерения составляет 1 мм., то еще не ясно хорошо это или плохо. Если длину комнаты измерили с точностью до 1 мм., то это сверхточно, а если диаметр проволоки вместо 3 мм. намерили 2 мм., то это очень плохо. Достоинство результата гораздо лучше характеризует относительная погрешность, которая представляет собою отношение абсолютной погрешности к самому значению величины или к его приближенному значению. Таким образом, если точное значение некоторой величины равно , а приближенное значение равно , то абсолютная погрешность Относительная погрешность или . Чем меньше относительная погрешность, тем больше точность, с которою величина известна. Поэтому относительная погрешность и принимается за меру точности результата.

Результат всякого вычисления и измерения выражается числом, поэтому нужно писать числа так, чтобы по их записи можно было судить о степени точности. В приближенных вычислениях принято писать число так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительной и притом не более как на одну единицу. Например, если наша экспериментальная установка позволяет проводить замеры с точностью до 0,01, то нет необходимости писать числа в виде 7,232144 или 12,45931472, а нужно писать 7,23 или 12,46. Аналогично для больших чисел. Если наша экспериментальная установка позволяет измерить расстояние с точностью до 1000 км., то не нужно писать 217426 км. или 217 931 км., а нужно писать 217000 или 218000. Т.е. писать только верные цифры и сохранять лишь одну сомнительную цифру. Теперь выясним, как отражается на точности результата выполнение различных арифметических операций над приближенными числами. Рассмотрим операцию сложения и умножения, заменив сомнительную цифру знаком вопроса.

3,2? 12,3245

+

12,3245 3,2?

________ __________

15,5???????

___________

38,?????

Из примеров видим, что точность результата зависит от наименее точного приближенного числа, поэтому еще до выполнения арифметических операций нужно все приближенные числа округлить до одинакового количества десятичных знаков, сохранив дополнительно еще одну запасную цифру. Оставление лишних десятичных знаков у части слагаемых лишь усложняет вычисления, не повышая их точности.