Примеры приложений преобразования Лапласа

Операционный метод позволяет, прежде всего, весьма просто решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. При решении таких уравнений методом преобразования Лапласа искомая функция и ее производные заменяются их изображениями, после чего получается алгебраическое линейное уравнение относительно изображения искомой функции. Решая его, мы получаем так называемое операторное решение, после чего остается восстановить оригинал, являющийся искомым решением данного дифференциального уравнения. Для этой последней операции могут быть использованы, в зависимости от случая, теорема обращения, а также другие теоремы и правила операционного исчисления. Весьма удобно также пользоваться готовыми таблицами обратных преобразований Лапласа. Рассмотрим примеры.

Пример 17. Проинтегрировать уравнение при нулевых начальных данных.

Переходя к изображениям, имеем

, , ,

причем последнее соотношение получено по правилу дифференцирования изображения из преобразования

Операторная форма данного уравнения будет иметь вид

,

откуда

.

Разлагая правую часть последнего равенства на элементарные дроби, будем иметь

или, сравнивая числители,

.

Полагая здесь последовательно равным 1 и -1, получим:

при , 1=2А, ,

при , 1=-24D, .

Сравнивая далее коэффициенты при одинаковых степенях , будем иметь:

, , , , , , , , , ,

Подставляя найденные значения коэффициентов, получим:

.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом протекает вполне аналогично решению одного такого уравнения.

Пример 18. Решить систему линейных дифференциальных уравнений:

,

,

,

при начальных условиях , , .

Переходя к изображениям, приходим к следующей операторной системе:

Решая ее, получим:

Поэтому по формуле (2.23), учитывая, что в нашем случае:

находим .

Аналогично нетрудно найти следующие выражения остальных неизвестных:

, .

Таблица основных правил операционного исчисления

			Примечание
			Теорема обращения
			Теорема подобия
			Теорема смещения
			Теорема запаздывания
			Дифференцирование изображения
			Интегрирование изображения
			Дифференцирование оригинала
			Интегрирование оригинала
			Теорема умножения изображения

Таблица некоторых преобразований Лапласа