Теоремы обращения

При описании схемы применения операционного исчисления было отмечено, что заключительный шаг этой схемы состоит в нахождении оригинала по найденному изображению. Эту операцию называют обратным преобразованием Лапласа и символически записывают так: .

Приведем формулу обращения преобразования Лапласа, являющуюся универсальным средством восстановления оригинала по его изображению.

Теорема 2.2. Если аналитическая функция в полуплоскости и при всяком :

1) сходится,

2) стремится к нулю, когда , .

Тогда является изображением оригинала

, (2.21)

где интеграл берется вдоль любой прямой .

Теорема 2.2 позволяет выделить из множества функций комплексной переменной те функции, которые являются изображениями, и дает формулу, по которой восстанавливается оригинал. Но условия этой теоремы являются лишь достаточными, они выполняются далеко не для всех изображений.

Так, например, функция является изображением единичной функции, но для нее не выполняется условие 1.

Для того чтобы формулу обращения (2.21) можно было бы распространить на более широкий класс функций, например, на все правильные дробно-рациональные функции, мы сформулируем еще одну теорему обращения.

Теорема 2.3. Если функция является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3 и служит ее изображением, то в каждой точке , в которой функция дифференцируема, имеет место формула обращения

, (2.21)

где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения (см. ссылку к теореме 2.2)

Примем утверждения этих теорем без доказательства, т.к. во многих случаях при нахождении оригинала можно избежать непосредственного вычисления интеграла (2.21), воспользовавшись таблицей соответствий «оригинал-изображение»