Методы векторной оптимизации в условиях определенности

Пусть – векторный критерий, K (a) – векторная оценка альтернативы Тогда общая задача векторной оптимизации будет выглядеть как

,

где opt – оператор оптимизации.

Решение этой задачи любым методом подразумевает 3 этапа:

Этап 1. Определение частных показателей и критериев.

Этап 2. Определение множества Парето, задаваемое свойством его элементов: – множество Парето включает альтернативы, которые всегда более предпочтительны по сравнению с любой из множества , при этом любые две альтернативы из множества Парето по предпочтению не сравнимы.

Этап 3. Скаляризация (свертка) критериев – устранение многокритериальности.

Одновременная оптимизация всех критериев в области Парето невозможна. Поиск решения должен осуществляться на основе какой-либо схемы компромиссного выбора решения. Эта схема и определяет метод векторной оптимизации.

Метод выделения главного критерия. ЛПР выделяет один главный критерий, остальные вводятся в состав ограничений. Недостаток метода – субъективность, иттерационность, невозможность оценки взаимного влияния критериев.

Метод лексикографической оптимизации. Предполагается, что критерии составляющие векторный критерий K, могут быть упорядочены на основе отношения предпочтительности.

Алгоритм метода.

Шаг 1. Выбирается подмножество альтернатив , имеющих наилучшие оценки по первому критерию Если окажется, что (мощность множества равна 1, то есть множество содержит всего один элемент), то единственная альтернатива признается наилучшей. Если , то выполняется шаг 2.

Шаг 2. Выбирается по критерию Если |A₂| = 1, то наилучшая альтернатива . Если , то повторять шаг 2, и так до тех пор, пока не будет найдена единственная альтернатива

Графически алгоритм может выглядеть так, как показано на рис. 20.

Рис. 20. Схема алгоритма метода лексикографической оптимизации

Метод последовательных уступок. Для каждого из проранжированных по важности критериев назначается допустимое отклонение значения критерия от наилучшего. Далее строятся множества , , и т. д. как в предыдущем методе, только альтернативы включаются в подмножества не только в случае совпадения с наилучшим значением критерия, но и в случае, когда значение «вписывается» в отклонения.

При этом «уступки» (допуски) назначаются таким образом, чтобы было истинным высказывание , поскольку превращение множества в пустое или однокомпонентное множество приводит к невозможности оптимизации по остальным критериям.

Если допустимые отклонения для всех компонентов векторного критерия положить равными нулю, то метод последовательных уступок превратится в метод лексикографической оптимизации.