Измерительные шкалы

Измерение – это алгоритмическая операция, которая данному наблю­даемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число, номер или символ. Такое соответствие обеспечивает то, что результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте, а количество информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия вариантов. Нуж­ная информация получается из результатов измерения с помощью их преобразований, или, как еще говорят, с помощью обработки экспе­риментальных данных.

Совершенно ясно, что чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Менее очевидно, что степень этого соответствия зависит не только от организации измерений (то есть от экспериментатора), но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия, в свою очередь, определяет допустимые (и недопустимые) способы обра­ботки данных.

Рассматриваются только такие объекты, про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие алгоритмы измерения, которые различным состоя­ниям ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым со­стояниям – одинаковые обозначения. Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам эквивалентности:

1°. (рефлексивность).

2°. Если , то (симметричность).

3°. Если и , то (транзитивность).

Здесь символ «=» обозначает отношение эквивалентности; в том слу­чае, когда А и В – числа, он означает их равенство.

Шкалы наименований. Предположим, что число различимых состояний (математический термин – число классов эквивалентности) конечно. Каждому классу эк­вивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обо­значений других классов. Теперь измерение будет состоять в том, чтобы, проведя эксперимент над объектом, определить принадлежность резуль­тата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с по­мощью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение назы­вается измерением в шкале наименований (иногда эту шкалу называ­ют также номинальной или классификационной). Указанное множество символов и образует шкалу.

Необходимость классификации возникает и в тех случаях, когда классифицируемые состояния образуют непрерывное множество. Задача сводится к предыдущей, если все множество разбить на конечное число подмножеств, искусственно образуя тем самым классы эквивалентности. Теперь принадлежность состояния к какому-либо классу снова можно регистрировать в шкале наименований. Однако условность введенных классов (не их шкальных обозначений, а самих классов) рано или поздно проявится на практике.

Рассмотрим вопрос о допустимых операциях над данными, выраженными в номинальной шкале. Обозна­чения классов – это только символы, даже если для этого использованы номера. Номера лишь внешне выглядят как числа, но на самом деле чис­лами не являются. С номерами нельзя обращаться как с числами, за исключением определения их равенства или неравенства: только эти отношения определены между элементами номинальной шкалы (см. приведенные аксиомы 1°–3°).

Порядковые шкалы. Следующей по величине за номинальной шкалой является порядковая шкала (используется также название ранговая шкала). Этот класс шкал по­является, если кроме аксиом тождества 1°–3° классы удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности:

4°. Если , то либо , либо .

5°. Если и , то .

Обозначив такие классы символами и уста­новив между этими символами те же отношения порядка, получим шкалу совершенного поряд­ка. Примерами применения такой шкалы яв­ляются нумерация очередности, воинские зва­ния, призовые места в конкурсе.

Иногда оказывается, что не каждую пару классов можно упорядочить по предпочтению: некоторые пары считаются равными. В таком случае аксиомы 4° и 5° видоизменяются.

4'. Либо , либо .

5'. Если и , то .

Шкала, соответствующая аксиомам 4' и 5', называется шкалой квазипорядка. Примером шкалы квазипорядка служит упорядочение по степени родства с конкретным лицом (мать = отец > сын = дочь, дядя = те­тя < брат = сестра и т. п.).

Очень важно обратить внимание на то, что отношение порядка ни­чего не говорит о «дистанциях» между сравниваемыми классами или объектами. Это придает порядковым шкалам характерную особенность: наблюдения, зафиксированные в таких шкалах, не являются числами. Даже если экспериментальные данные представлены цифрами (как школьные баллы, номера мест, занятых в соревновании, и т. п.), эти дан­ные нельзя рассматривать как числа. Над ними нельзя производить арифметические операции и вообще любые действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы, не нарушающих порядка.

Модифицированные порядковые шкалы. Важная причина попыток усиления шкалы состоит в том, что многие измеряемые в по­рядковых (принципиально дискретных) шкалах величины имеют дей­ствительный или мыслимый непрерывный характер: сила ветра или зем­летрясения, твердость вещества, глубина и прочность знаний, овладение навыками и т. п. Сама возможность введения между любыми двумя шкальными значениями третьего способствует тому, чтобы попытаться усилить шкалу.

Все это вместе взятое привело к появлению и использованию на практике ряда порядковых шкал, но не в таком «строгом смысле», как те, о которых шла речь выше. При этом иногда с полученными дан­ными начинают обращаться как с числами, даже если произведенная модификация не выводит шкалу из класса порядковых. Это сопряжено с ошибками и неправильными решениями. Рассмотрим некоторые из из­вестных модификаций.

Одним из ярких примеров являются бальные шкалы оценки знаний учащихся.

Шкала силы ветра по Бофорту. В 1806 г. английский гидрограф и картограф адмирал Ф. Бофорт предложил балльную шкалу силы ветра, определяя ее по характеру волнения моря: 0 – штиль (безветрие), 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган. Кроме штиля, градации силы ветра имеют условный, качественный ха­рактер.

Шкала магнитуд землетрясений по Рихтеру. В 1935 г. американский сейсмолог Ч. Рихтер предложил 12-балльную шкалу для оценки энергии сейсмических волн в зависимости от последствий прохождения их по данной территории. Затем он развил метод оценки силы землетрясения в эпицентре по его магнитуде на поверхности земли и глубине очага.

Шкалы интервалов. Если упорядочивание объектов можно вы­полнить настолько точно, что известны расстоя­ния между любыми двумя из них, то измерение окажется заметно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все расстояния в едини­цах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы.

Интервальные шкалы могут иметь произвольные начала отсчета и единицы измерения, что можно выразить словами: «шкала интервалов единственна с точностью до линейных преобразований».

Примерами величин, которые по физической природе либо не имеют абсолютного нуля, либо допускают свободу выбора в установлении начала отсчета и поэтому измеряются в интервальных шкалах, являются температура, время, высота местности.

Название «шкала интервалов» подчеркивает, что в этой шкале толь­ко интервалы имеют смысл настоящих чисел и только над интервалами следует выполнять арифметические операции: если произвести арифме­тические операции над самими отсчетами по шкале, забыв об их относи­тельности, то имеется риск получить бессмысленные результаты. На­пример, если сказать, что температура воды увеличилась в два раза при ее нагреве от 9 до 18º по шкале Цельсия, то для тех, кто привык пользоваться шкалой Фаренгейта, это будет звучать весьма странно, так как в этой шкале температура воды в том же опыте изменится от 48,2 до 64,4º.

Шкалы отношений. Пусть наблюдаемые величины удовлетворяют не только аксиомам 4° и 5°, но и аксиомам аддитивности:

6°. Если и , то .

7°. .

8°. Если и , то .

9°. .

Это существенное усиление шкалы: измерения в такой шкале явля­ются «полноправными» числами, с ними можно выполнять любые ариф­метические действия, так как вычитание, умножение и деление лишь частные случаи сложения. Введенная таким образом шкала называется шкалой отношений. Величины, измеряемые в шкале отношений, имеют есте­ственный, абсолютный нуль, хотя остается свобода в выборе единиц.

Примерами величин, природа которых соответствует шкале отно­шений, являются длина, вес, электрическое сопротивление, деньги.

Абсолютная шкала. Рассмотрим такую шкалу, которая имеет и абсолютный нуль, и аб­солютную единицу. Эта шкала не единственна с точностью до какого-либо преобразования, а просто единственна, уникальна. Именно такими качествами обладает числовая ось, которую естественно назвать абсо­лютной шкалой.

Согласование шкалы с природой наблюдений. Можно сказать, что чем сильнее шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте, явлении, процессе дают измерения. Поэтому так естественно стремление каждого исследователя провести измерения в возможно более сильной шкале. Однако важно иметь в виду, что выбор шкалы измерения должен ориентироваться на объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина, и лучше всего производить измерения в той шкале, которая максимально согласована с этими от­ношениями. Можно измерять и в шкале, более слабой, чем согласован­ная (это приведет к потере части полезной информации), но применять более сильную шкалу опасно: полученные данные на самом деле не бу­дут иметь той силы, на которую ориентируется их обработка.

Вопросы для самопроверки

1. Какая взаимосвязь прослеживается между моделью и экспериментом?

2. В чем состоит классическое представление об эксперименте?

3. Дайте определение современного эксперимента. В чем особенности данного процесса?

4. Дайте понятие измерения.

5. Какие основные измерительные шкалы существуют?

6. Что такое шкала наименований? Приведите примеры.

7. Что представляют собой порядковые шкалы?

8. Для чего вводятся модифицированные порядковые шкалы?

9. Поясните значение шкалы интервалов. Приведите примеры.

10. В чем сущность шкалы отношений? Приведите примеры.

11. Что такое абсолютная шкала?

12. Как производится согласование шкалы с природой наблюдений?