Spannungstensor

In einem Bauteil werden durch eingeprägte Kräfte (Oberflächen- und Volumenkräfte) sowie durch eingeprägte Verzerrungen (z. B. Wärmedehnungen) innere Kräfte geweckt, die mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht stehen. Nimmt man eine stetige Verteilung der inneren Kräfte F аn, so kann der Differentialquotient d F / d A gebildet werden, wobei wir unter d A ein durch einen gedachten Schnitt entstandenes Flächenelement verstehen, an dem d F wirkt. d F / d A stellt die Spannung im betrachteten Punkt für die vorgegebene Lage des Flächenelements dar.

Die Zerlegung des Bauteils in beliebig kleine Elemente ist aber nur für einen homogenen Werkstoff sinnvoll. (Bei einem homogenen Werkstoff sind die Eigenschaften an jedem Punkt des Bauteils gleich.) Für die weitere Betrachtung nehmen wir deshalb einen Werkstoff mit diesen Eigenschaften an, der entgegen seiner wirklichen Struktur auch homogen bis zu seinen kleinsten Teilen sein soll. Diese Annahmen führen zu einer brauchbaren Theorie (Kontinuumsmechanik) bei der Ermittlung des Spannungs- und Verformungszustandes in einem Bauteil, solange die Spannungsbzw. Verformungsänderungen über einzelne Körner bzw. Kristallite des Werkstoffes hinweg klein sind.

Wir betrachten nun ein differentiell kleines Element, das wir uns aus dem Bauteil herausgeschnitten denken. Seine Lage wird durch das kartesische Koordinatensystem x, y, z beschrieben. An den entstandenen Schnittflächen wirken Kräfte, die wir in Normal- und Tangentialkräfte bezüglich der Schnittfläche zerlegen. Sie ergeben bei Division durch das Flächenelement, an dem sie wirken.Sie sind positiv, wenn sie an einer Fläche mit positiver Normale in positiver Koordinatenrichtung wirken. An der gegenüberliegenden Seitenfläche sind sie positiv in entgegengesetzter Richtung. Der erste Index von t_kl (k, l = x,y, z) bezeichnet die Richtung der Seitenflächennormalen, der zweite die Richtung der Spannungskomponenten. So bedeutet z. B. eine Spannungskomponente t_xy eine Spannung an einem Schnitt x = konst in y- Richtung.

Wir nennen Spannungen mit gleichen Indizes (k = l) Normalspannungen oder Trennspannungen (t_xx, t_yy, t_zz) und Spannungen mit verschiedenen Indizes (k ≠ l) Tangential- oder Schubspannungen (t_xy, t_xz,..., t_yz). Für die Normalspannungen wird oft auch eine andere Schreibweise benutzt:

t_xx ≡ σ _x, t_yy ≡ σ _y, t_zz ≡ σ _z