VI. Отыскание интервальных оценок параметров нормального закона

Найдём интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности СВ Х.

1). Для математического ожидания:

,

где n - объём выборки, - выборочное среднее, - исправленное среднее квадратическое отклонение.

- находится по данной надёжности (доверительной вероятности) и объёму выборки n по приложению 3 (см. Гмурман В.Е.). Приняв за надёжность = 0,95 (в соответствии с заданием), n = 50, получаем: 2,009. Тогда

,

т.е. .

Итак, с надёжностью 0,95 математическое ожидание а заключено в доверительном интервале (87,39; 102,37).

2). Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое генеральной совокупности с заданной надёжностью , находится по формуле , если q < 1 ……………….(3)

или , если q > 1,

где - исправленное среднее квадратическое отклонение.

q находят по приложению 4 (Гмурман В.Е.) по данным n - объёму выборки и надежности . В нашем случае

, .

По формуле (3) находим: или .

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности изучаемой СВ Х заключено в интервале (20,81; 31,88).

Выводы.

1. Проведённые исследования показали, что генеральная совокупность СВ Х, выражающей продолжительность горения всей партии электрических лампочек, из которой взята выборка, распределена по нормальному закону, плотность вероятности которой

.

Интегральная функция распределения генеральной совокупности

,

где - функция Лапласа (Гмурман В.Е., приложение 2).

Здесь в качестве неизвестных параметров и нормального закона взяты их точечные значения .

2. Средняя продолжительность горения лампочек составляет 94,8 часа. причем с вероятностью не менее чем 95% продолжительность горения ламп во всей партии заключена в границах от 87, 3 до 102,4 часа (94,88 7,49 час).