IV. Выбор закона распределения

Построенные полигон и гистограмма относительных частот (рис. 1) напоминают нормальную кривую (кривую Гаусса). Поэтому есть основания предположить, что изучаемая СВ Х распределена по нормальному закону. Но эту гипотезу надлежит проверить.

В этих целях вычисляют теоретические частоты (выравнивающие частоты) и по ним строят кривую.

Первый способ. Один из способов построения нормальной кривой по данным наблюдений состоит в следующем:

1). Находят и ;

2). Определяют ординаты (выравнивающие частоты) по формуле ,

где n - объём выборки, h - шаг (длина частичного интервала);

, - нормированная плотность нормального распределения (В.Е.Гмурман, приложение 1).

В нашем случае

. Вычисления проведены в таблице 6.

Замечание. В последнем столбце таблицы указаны теоретические частоты, которые получаются округлением до ближайшего целого числа предыдущих значений.

На рис. 3 построена нормальная (теоретическая) кривая по выравнивающим частотам и полигон наблюдаемых частот. Сравнение графиков наглядно показывает, что построенная теоретическая кривая нормального распределения удовлетворительно отражает данные наблюдений.

Таблица 6

		-58,88 -42,88 -26,88 -10,88 5,12 21,12 37,12 53,12	-2,26 -1,64 -1,03 -0,42 0,20 0,81 1,42 2,04	0,0310 0,1040 0,2347 0,3652 0,3910 0,2874 0,1456 0,0498	0,95 3,20 7,20 11,20 11,99 8,81 4,57 1,53

Рис.3

Второй способ ( с использованием функции Лапласа).

1). Находят

2). Составляют новые интервалы , концы которых вычисляют по формулам: , причем наименьшее значение полагают равным , а наибольшее значение полагают равным .

3). Вычисляют теоретическую вероятность попадания случайной величины Х в интервал по равенству

,

где - функция Лапласа (см. В.Е.Гмурман, приложение 2).

4). Теоретические частоты находят по формуле , где n – объём выборки.

Непосредственные вычисления проведём в таблицах 7, 8.

1). В таблице 7 найдём интервалы .

Таблица 7

Границы частичных интервалов	Часто-ты
			- 66,88 - 50,88 - 34,88 - 18,88 - 2,88 13,12 29,12 45,12	-50,88 -34,88 -18,88 -2,88 13,12 29,12 45,12 61,12	- -1,95 -1,34 -0,72 -0,11 0,50 1,12 1,73	-1,95 -1,34 -0,72 -0,11 0,50 1,12 1,73 +

2). В таблице 8 найдены теоретические вероятности и по ним - теоретические частоты . Получены те же результаты, что и при первом способе (см. табл. 6).

Таблица 8

Границы интервала					Исправ- ленное
- -1,95 -1,34 -0,72 -0,11 0,50 1,12 1,73	-1,95 -1,34 -0,72 -0,11 0,50 1,12 1,73 +	-0,5000 -0,4744 -0,4099 -0,2642 -0,0438 0,1915 0,3686 0,4582	-0,4744 -0,4099 -0,2642 -0,0438 0,1915 0,3686 0,4582 0,5000	0,0256 0,0645 0,1457 0,2204 0,2353 0,1771 0,0896 0,0418	1,28 3,23 7,29 11,02 11,77 8,86 4,48 2,09	4+1
				1,0000		49+1=50

V. Обоснование гипотезы о предполагаемом законе распределения.

По виду полигона и гистограммы (рис.1) было сделано предположение, что СВ Х подчинена нормальному закону. Из этого предположения удалось вычислить теоретические частоты и построить теоретическую кривую нормального распределения, что ещё более подтверждает, что генеральная совокупность СВ Х подчинена нормальному закону.

Однако высказанную гипотезу (называют её нулевой ) необходимо подтвердить, т.е. требуется проверить согласованность имеющегося эмпирического материала с предполагаемым теоретическим распределением случайной величины в генеральной совокупности.

Проверка осуществляется с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Применим критерий согласия - «хи квадрат» (критерий Пирсона). С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) частоты и теоретические частоты по формуле

…………. ……………..(2)

Составим расчетную таблицу 9.

По таблице критических точек распределения (Гмурман В.Е., приложение 5) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где s – число частичных интервалов, r - число параметров предполагаемого распределения СВ Х, найдём критическое значение .

Таблица 9

					Расчет для контроля
		-3 -1		0,82 0,75 0,2		4,00 3,00 7,00 5,82 18,75 9,00 3,20 2,00
				2,77		52,77

В нашем случае число степеней свободы , а уровень значимости a = 0,05 (по заданию). По приложению 5 находим:

В таблице 9 найдено:

Так как , то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности СВ Х.

Для контроля вычислений формулу (2) преобразуют к виду ; имеем: