Функция распределения дискретной случайной величины

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины называется функция , определяющая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, строго меньшее , т. е.

. (23)

Функцию называют интегральным законом распределения случайной величины.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная кусочно-постоянная функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Рассмотрим основные свойства функции распределения дискретной случайной величины.

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

.

2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси, т. е.

, если .

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т. е.

, .

4. Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал [ ) равна приращению её функции распределения на этом полуинтервале, т. е.

.

Следствие 1. Если возможные значения случайной величины принадлежат числовому отрезку [ ], то

при и при .

Следствие 2. Для дискретной случайной величины функция распределения равна сумме вероятностей тех её значений, которые строго меньше , т. е.

.

Пример 28. Случайная величина задана рядом распределения:

.

Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.

Решение. Если , то (следствие 1).

Если , то .

Действительно, имеется единственное возможное значение случайной величины (), которое строго меньше 4, и вероятность этого события по условию равна 0,4.

Пусть . Тогда .

Действительно, если удовлетворяет неравенству , то по определению равно вероятности события , которое может произойти, когда примет значение 1 (вероятность этого события 0,4) или значение 4 (вероятность его равна 0,1).

Но так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей:

0,5.

Если , то по аналогии , так как три значения случайной величины (1,4,5) строго меньше её значения 7.

Наконец, если , то (следствие 1).

В итоге функция распределения аналитически может быть записана в виде:

Построим её график, откладывая по оси абсцисс значения случайной величины, а по оси ординат – их вероятности (рис. 2).

Рис. 2

Пример 29. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения и найти функцию распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

Решение. Пусть случайная величина число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

Она может принимать значения: 0,1,2.

Найдем вероятности событий с использованием классической формулы вероятности.

Общее число исходов определяется числом сочетаний из пяти элементов по два, так, как порядок гвоздик не имеет значения, т. е

10.

Событию благоприятствует 3 исхода.

Тогда 0,3.

Событию благоприятствует 6 исходов.

Отсюда 0,6. Наконец, число исходов, благоприятствующих событию , равно 1 и 0,1.

Ряд распределений случайной величины имеет вид:

.

В результате функция распределения аналитически записывается:

Пример 30. Функция распределения случайной величины имеет вид:

Найти вероятность того, что:

а) ;

б) .

Решение. а). С использованием свойства 4 функции распределения имеем

0,3.

б). События () и () являются противоположными. Тогда

.

Но вероятность по определению равна значению функции распределения в точке 1/3, т. е. . Отсюда

0,3.

Пример 31. В примере 26 найти функцию распределения для случайной величины .

Решение. В результате решения примера 26 был найден ряд распределения случайной величины :

.

Если , то по следствию 1: .

Когда , то .

Пусть . Тогда в силу следствия 2 функция распределения возрастает на величину : .

Для .

В полуинтервале функция .

Наконец при имеем .

В итоге случайная величина имеет следующую функцию распределения: