Ряд распределения. Числовые характеристики

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из своих возможных значений, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные изолированные значения, которые можно пронумеровать.

Случайные величины обозначают прописными буквами и т. д., а их возможные значения – строчными . Например, если случайная величина принимает три возможных значения, то они обозначаются: .

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является её закон распределения.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Если случайная величина принимает конечное число значений, то простейшей формой задания её закона распределения является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Значения			…		…
Вероятности			…		…

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины, если .

Иногда ряд распределения записывают в виде матрицы

или сокращенно .

Ряд распределения можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности.

Соединение полученных точек образует ломаную, называемую полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать аналитически, т.е. в виде формулы. Например,

где некоторая вероятность.

…

Рис. 1

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие значения приняла другая величина.

Пусть заданы две случайные величины и своими рядами распределения:

.

Для случайных величин вводят следующие математические операции.

Произведением случайной величины на постоянную величину называется случайная величина, которая принимает значения и задаётся рядом распределения:

.

степенью случайной величины , т.е. называется случайная величина, которая принимает значения с теми же вероятностями :

.

Суммой (разностью или произведением) случайных величин и называется случайная величина, которая принимает всевозможные значения вида ( или ), где , с вероятностями того, что случайная величина примет значение , а - значение :

.

Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей:

. (19)

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её значений на соответствующие им вероятности

. (20)

Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины .

Приведем основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий:

.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата её отклонения от математического ожидания

. (21)

Дисперсия характеризует рассеивание, разброс случайной величины относительно своего математического ожидания.

Она обладает следующими основными свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

.

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

4. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания:

. (22)

В качестве характеристики рассеяния возможных значений случайной величины используют также среднее квадратическое отклонение (СКО) , которое в отличие от дисперсии имеет размерность

.

Модой случайной величины называют наиболее вероятное её значение.

Пример 23. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из 4-х посаженных кустов и найти моду этой случайной величины.

Решение. Пусть число зараженных вирусом кустов из 4-х посаженных. Это дискретная случайная величина, которая может принимать значения: 0,1,2,3,4. По условию задачи вероятность поражения вирусом 0,2 есть величина постоянная, не зависящая от числа посаженных кустов. Тогда имеем схему независимых испытаний Бернулли, и вероятность события определяется по формуле Бернулли:

.

При 0 получаем

0,4096.

Пусть 1, тогда

0,4096.

Аналогично

0,1536, 0,0256; 0,0016.

В итоге построим по полученным значениям вероятностей ряд распределений числа кустов земляники, зараженных вирусом:

Таблица 1

	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

Заметим, что 0,4096+0,4096+0,1536+0,0256+0,0016=1.

Два значения случайной величины 0 и 1 принимаются с одинаковой наибольшей вероятностью 0,4096. Отсюда случайная величина является бимодальной и 0 и 1.

Пример 24. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решённых задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Пусть число правильно решенных задач в билете. Эта случайная величина может принимать значения: 0,1,2,3. Обозначим событие правильно решена я задача (). Найдем вероятности .

Очевидно, что:

0,006,

0,092,

0,398,

0,504.

Тогда ряд распределения числа правильно решенных задач имеет вид:

Таблица 2

	0,006	0,092	0,398	0,504

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле (20):

2,4.

Дисперсия случайной величины определяется по формуле (21):

0,46.

Пример 25. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

, .

Найти вероятности, с которыми случайные величины и принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины и проверить выполнение свойств:

;

.

Решение. Для ряда распределения случайной величины должно выполняться равенство: . Отсюда 0,3. Аналогично 0,6.

Найдем возможные значения случайной величины .

Пусть 0. Тогда при 2 случайная величина -4.

Если же 3, то -6.

В дальнейшем удобнее составить следующую таблицу.

Таблица 3

		-4
	-6
		-1
	-3

Если ранжировать значения по возрастанию, то эта дискретная случайная величина принимает значения: -6, -4, -3, -1, 3, 5.

Учитывая независимость и , найдём по формуле (19) соответствующие им вероятности.

0,12.

0,08.

0,3.

0,2.

0,18.

0,12.

В итоге случайная величина имеет следующий закон распределения:

.

Найдем по формуле (20) математическое ожидание :

-1.

Далее определяем по формуле (22) дисперсию этой случайной величины:

12,12.

Вычислим также математические ожидания случайных величин и

1,4;

2,6

и их дисперсии

1,24;

0,24.

Тогда по свойствам математического ожидания

-1,

что совпадает с ранее найденным математическим ожиданием -1.

Аналогично, воспользовавшись свойствами дисперсии, получим

12,12,

что совпадает с ранее вычисленной дисперсией 12,12.

Пример 26. Дискретные случайные величины и независимы и имеют один и тот же закон распределения:

.

Составить закон распределения:

а) случайной величины ;

б) случайной величины

и убедиться, что .

Решение. а). Вторая степень случайной величины по определению представляет случайную величину со значениями с прежними вероятностями . Отсюда закон распределения имеет вид:

.

б). Найдем закон распределения случайной величины . Для удобства нахождения произведения составим вспомогательную таблицу, в которой будем придавать и различные возможные их значения и вычислять .

Таблица 4

Как видно из таблицы 4 имеются повторяющиеся значения . В итоге дискретная случайная величина принимает только следующие 5 значений: 1,2,4,8,16.

Найдем соответствующие вероятности.

Значение встречается в таблице один раз. Поэтому в силу независимости и имеем

0,04.

Значение присутствует в таблице 2 раза.

Тогда вычисляем суммарную вероятность для этих двух одинаковых значений:

0,12.

Значение встречается в таблице 3 раза.

Отсюда суммарная вероятность найдется как сумма вероятностей трёх событий:

0,29.

Аналогично определяем:

0,3;

0,25.

В итоге получаем закон распределения произведения :

.

Из полученных законов распределения дискретных случайных величин и видно, что они представляют различные случайные величины.

Пример 27. Дискретная случайная величина задана распределением:

.

Найти условную вероятность события при условии, что .

Решение. Введем в рассмотрение события: и . Тогда по условию задачи требуется найти условную вероятность .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Событию благоприятствуют следующие значения дискретной случайной величины : , которые являются несовместными и поэтому вероятность события равна сумме вероятностей

0,5.

Аналогично событию благоприятствуют значения : .

Тогда

0,4.

В итоге имеем

0,8.