Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть производится испытаний, причём вероятность некоторого события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, постоянна и равна .
Тогда вероятность того, что событие наступит ровно раз в независимых испытаниях, определяется по формуле Бернулли
, . (14)
Наивероятнейшее число появлений события раз в независимых испытаниях, определяется из двойного неравенства:
, (15)
где .
При больших значениях и пользоваться формулой (14) для вычислений неудобно. Если вероятность постоянна и мала, число испытаний велико, а число незначительно (), то для вычисления вероятности можно использовать приближенную формулу Пуассона:
, (16)
где функция Пуассона, значения которой приводятся в приложении 3.
Если вероятность удовлетворяет условию: , число испытаний велико, а , то вероятность можно найти по приближенной локальной формуле Муавра-Лапласа:
, (17)
где
- функция Гаусса, значения которой приводятся в приложении 1,
а .
В этих условиях для нахождения вероятности события можно воспользоваться интегральной формулой Муавра-Лапласа:
, (18)
где
- функция Лапласа, значения которой приводятся в приложении 2.
Пример 19. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из четырёх или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение. Поскольку игроки равносильные, то вероятность выигрыша партии всегда постоянна и равна =0,5. Здесь применима формула Бернулли (14).
Найдем вероятность того, что две партии из четырёх будут выиграны:
.
Далее вычислим вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:
.
Поскольку , то вероятнее выиграть две партии из четырёх, чем три из шести.
Пример 20. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,002% Найти вероятность того, что из 10 000 изделий:
а) будет повреждено три изделия;
б) будет повреждено, по крайней мере, три изделий;
в) Не будет повреждено 9997 изделий.
Решение.
а). Вероятность того, что изделие будет повреждено при транспортировке, равна =0,0002. Так как мала, а 10 000 – велико, но при этом , то для 3 применима формула Пуассона (16):
0,1805.
Значение функции Пуассона =0,1805 определяем по приложению 3.
б) Вероятность может быть вычислена как сумма большого числа слагаемых
.
Отсюда её проще найти через вероятность противоположного события:
0,3233.
в) Вероятность «неповреждения» изделия при транспортировке равна
0,9998 и требуется найти .
Однако формулу Пуассона применять нельзя, ибо 0,9998 велика.
Но событие «не будет повреждено 9997 изделий из 10 000» равносильно событию «будет повреждено 3 изделия из трёх», вероятность которого найдена в пункте а), т. е. =0,1805.
Пример 21. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.
Решение. Имеем повторение испытаний, когда 400 и 300.Вероятность того, что наудачу выбранная семья имеет холодильник, равна
0,8.
Поскольку велика, а , то формулу Пуассона применять нельзя (она даст большую ошибку). Но выполняется неравенство и поэтому применима локальная формула Муавра-Лапласа (17).
Вначале определяем
-2,5.
Далее по таблице функции Гаусса (приложение 1) находим в силу её четности
0,075.
Наконец, по формуле (17) вычисляем
0,0022.
Пример 22. По результатам проверки налоговыми инспекторами установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины:
а) от 480 до 520 предприятий;
б) наивероятнейшее число предприятий.
Решение. а) Рассматривая задачу как схему повторения испытаний при =0,5, заметим, что =1000 велико, но и можно использовать интегральную формулу Муавра-Лапласа (18).
Вначале определим:
-1,265;
1,265.
По таблице (приложение 2) находим значение функции Лапласа, которая является нечётной:
.
Тогда
0,794.
б) Наивероятнейшее число появления события в схеме независимых испытаний определяется формулой (15).
Отсюда
или
.
Единственное целое число, удовлетворяющее этим неравенствам – это =500. Найдем вероятность этого события по локальной формуле Муавра-Лапласа (17):
0,
,
0,0252.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 399 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!