Динамика гармонических колебаний

Свободными или собственными колебаниями называют колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и в дальнейшем предоставленной самой себе.

В связи с тем, что гармонические колебания характеризуются при движении изменением скорости и ускорения системы, необходимо найти причины этих колебаний, т.е. силы. Например, при колебаниях на тело (м.т.), закрепленное на нити, действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Под действием равнодействующей этих сил и происходит процесс колебания тела (рис. 6.12).

Причем при движении маятника от положения II к положению I и обратно направление силы периодически изменяется от - Fmax до + Fmin.

Согласно второму закону Ньютона вектор ускорения м.т., совершающей гармонические колебания,

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид:

Это выражение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка и описывает свободные гармонические колебания любой физической природы, начиная от простейших механических до сложнейших процессов периодических движений, например, движение электронов вокруг ядер атомов или колебания самих ядерных решеток и т.д.

Рассмотрим материальную точку с массой , на которую действует упругая сила .

Потенциальная и кинетическая энергии точки равны , , т.е. и сдвинуты друг относительно друга по фазе на . Полная энергия материальной точки сохраняется ();

переходит в и наоборот (рис. 51, 52), а средняя энергия , т.к. средние значения и за период равны . Уравнение движения можно получить из закона сохранения энергии: для этого уравнение для энергии дифференцируется по и ().

Энергетический критерий малых колебаний: ,где - смещение из положения равновесия. В этом случае колебания можно считать гармоническими.

26. Сложение колебаний с близкими периодами. Биения.

Биениями называют гармонические изменения амплитуды результирующего колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Биения возникают вследствие того обстоятельства, что разность фаз двух складываемых колебаний изменяется таким образом, при котором колебания оказываются в какой-то момент времени в одинаковой фазе, а в другой момент времени – в противофазе и так далее.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Произведя сложение по формуле

Здесь учтено, что во втором сомножителе Получившееся выражение есть произведение уравнений двух колебаний. Так как , то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, в то время, как другой сомножитель cosωt совершит несколько полных колебаний. Поэтому результирующее колебание x можно рассматривать как гармоническое частотой ω, а амплитуда A* которого изменяется по следующему периодическому закону:

Таким образом, биения представляют собой один из вариантов колебаний, амплитуда которых модулируется во времени, т.е. это амплитудно-модулированные (АМ) колебания.

Период биений

График зависимости x = x(t) при биениях показан на рис, где сплошные линии изображают график результирующего колебания, а их огибающие изображают график медленно меняющейся амплитуды. Определение частоты биений при наложении измеряемого и эталонного колебаний – один из наиболее точных методов измерения частоты неизвестного колебания, так как T * – большая величина и ее легко измерить с наименьшей погрешностью.

27. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебательных движениях одинакового периода, точка совершает результирующее движение по эллиптической траектории. Вид этого эллипса зависит от разности фаз колебаний; в частных случаях эллипс может выродиться в прямую. Если разность фаз равна пи/2 и 3пи/2, причем амплитуды колебаний равны друг другу, то результирующее движение проходит по окружности. Гораздо более сложные траектории получаются в тех случаях, когда периода складывающихся колебаний неодинаковы.

28. Затухающие колебания.

Колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается,

называют затухающими. Уравнение движения тела запишем виде:

С учетом зависимостей сил от координаты и времени получим, что

Разделив левую и правую часть этого уравнения на массу шарика m и использовав обозначения

перепишем уравнение следующим образом:

Это – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Здесь δ– коэффициент затухания; ω0 – собственная частота колебаний системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при δ = r=0. При условии, что (затухание мало), уравнение решается наиболее просто и его решение имеет вид:

– начальная амплитуда. Это уравнение есть уравнение движения м.т., совершающей свободные затухающие гармонические колебания.

29. Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденными называют колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).

Уравнение движения системы тел, например, пружинного маятника запишется в виде:

, которая входит в уравнение с положительным знаком, так как в отличие от возвращающей силы и силы сопротивления движению, она сонаправлена с ускорением колеблющегося тела.

С учетом уже введенных нами обозначений получим уравнение:

Это – дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний. Из теории дифференциальных уравнений решение такого уравнения хорошо известно. В частности, для моментов времени, когда влияние затухания становится пренебрежимо малым, оно имеет вид:

Это уравнение движения м.т., совершающей вынужденные гармонические колебания. Из последнего выражения следует, что при ω = 0 амплитуда

Видно, что колебания совершаются с частотой, равной частоте вынуждающей силы, при этом амплитуда колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Особый интерес представляет то обстоятельство, что при данных ω0 и δ амплитуда колебаний зависит от частоты ω вынуждающей силы. Эта зависимость означает, что при некоторой определенной для данной системы частоте, называемой резонансной, амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте системы называется механическим резонансом. При и амплитуда но в реальных системах δ ≠ 0, поэтому вычислим, чему равен

Чтобы определить , необходимо определить минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Это выражение для математического удобства обозначим как z:

С уменьшением максимум кривых возрастает и смещается в сторону больших частот, так как

Если , то все кривые выходят к одному и тому же, отличному от нуля значению F 0 /k, которое называется статическим отклонением. Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Изображенные на рисунке кривые называются резонансными кривыми. Резонансные свойства колебательной системы характеризуются физической величиной, называемой добротностью.

При малом затухании () добротность вычисляется так:

Таким образом, чем больше добротность колебательной системы, тем больше Арез.

В этом заключается физический смысл добротности. Для механических систем

На рисунке показаны фазовые резонансные кривые, из которых следует, что при изменении изменяется и сдвиг фаз между фазами колебаний и вынуждающей силы. Вынуждающая сила меняется по закону где – сдвиг фаз между силой F и смещением x.

При = 0 и = 0, а при независимо от значения сдвиг фаз , т.е. вынуждающая сила опережает по фазе смещение тела от положения равновесия

на . При дальнейшем увеличении сдвиг фаз возрастает и при >> , , т.е.фаза колебаний почти противоположна фазе вынуждающей силы.

30. Распространение колебаний. Уравнение волны.

Колебания, возбуждаемые в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Периодический в пространстве и во времени процесс распространения колебаний в сплошной среде называют волновым процессом или волной.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества.

В зависимости от природы источника волн и среды распространения различают упругие и электромагнитные волны.

Упругая волна – распространение в упругой среде механических возмущений (отклонений частицы от положения равновесия, изменений давления или механического напряжения). Упругие волны подразделяют на продольные и поперечные. В продольной волне частицы среды колеблются в направлении распространения волны;, в поперечной – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения.

Чтобы волна в среде могла распространяться, точки среды должны быть связаны между собой силами, способными вызвать колебания, то есть силами упругости. На рисунке 1 показан ряд таких связанных между собой точек. Если одна из точек, например точка O, начинает колебаться, то ее колебания передаются в направлении r.

Пусть точка O колеблется вдоль оси X по закону: x=xmsinω⋅t. (1)

Здесь время t отсчитывается от момента, когда точка О находилась в положении равновесия. Ее колебания передаются другим точкам не мгновенно, а с некоторой скоростью υ. Это значит, что за единицу времени колебание доходит до точки в ряду, расположенной от точки О на расстоянии, численно равном υ. Расстояние же, на которое колебание распространяется за время, равное одному периоду T колебаний, называется длиной волны λ. Отсюда следует, что λ=υ⋅T или, так как T= ,

то υ=λ⋅ν. (1)

Любая точка в нашем ряду, как только до нее дойдет волна, начнет колебаться с той же частотой, что и точка О, то есть будет повторять эти колебания. Но повторять с некоторым запозданием — ведь до точки, находящейся от О на расстоянии r, колебание дойдет через промежуток времени, равный rυ. Поэтому для координаты х точки на расстоянии r мы должны написать x=xmsinω⋅(t−rυ). (2)

Уравнение (2) называется уравнением волны. Оно позволяет найти смещение х от положения равновесия любой точки (находящейся на любом расстоянии r) в любой момент времени. Для данного момента времени оно дает как бы фотографию положений всех точек ряда относительно оси X. Уравнение волны показывает, что все точки действительно совершают одинаковые колебания (все колеблются вдоль оси X, и у всех одинаковые амплитуда и частота колебаний). Неодинаковы только фазы колебаний — разность фаз колебаний двух точек, расстояние между которыми равно Δ r, составляет ω⋅Δrυ.

Иногда уравнение волны удобнее представить несколько иначе. Перепишем уравнение (2) в виде: x=xmsin(ω⋅t−ω⋅rυ). Подставим во второй член в скобках вместо скорости волны υ равную ей величину λν, а вместо ω напишем 2 πν. Тогда получим x=xmsin(ω⋅t−2πrλ). (3) Из этого выражения видно, что координата х любой точки на расстоянии r от источника волны зависит от величины rλ, то есть от числа длин волн, укладывающихся на расстоянии r. Если, например, r = λ, то отставание по фазе будет равно 2 π, а это значит, что фаза колебаний этой точки будет такая же, как и точки О. Точно так же, если r = 2 λ, 3 λ и т. д., то сдвиг фазы будет равен 4 π, 6 π и т. д., то есть и в этом случае фазы будут одинаковыми. Таким образом, точки волны, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, двум длинам волн, вообще целому числу длин волн, колеблются в одинаковых фазах.

Уравнение волны (3) позволяет легко получить условия максимумов и минимумов при интерференции волн.

26. Распространение волн в упругой среде.

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конеч­ной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, увлекаемые частицы будут отставать по фазе от тех частиц, которые их увлекают.

При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды. Среда рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распреде­ленная в пространстве и обладающая упру­гими свойствами.

Итак, колеблющееся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного движения и энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения) и продольными (сгущение и разрежение частиц среды происходит в направлении распространения).

Граница, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц еще не начавших колебаться, называется фронтом волны.

В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны (рис. 5.1).

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l: где υ – скорость распространения волны, – период, ν – частота. Отсюда скорость распространения волны можно найти по формуле:

.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченную волновым процессом, т.е. волновых поверхностей бесконечное множество. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положение равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронт только один, и он все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях волновые поверхности имеют форму плоскости или сферы, соответственно волны называются плоскими или сферическими. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – систему концентрических сфер.

31. Звук. Вектор Умова.

Звук — физическое явление, представляющее собой распространение в виде упругих волн механических колебаний в твёрдой, жидкой или газообразной среде. В узком смысле под звуком имеют в виду эти колебания, рассматриваемые по отношению к тому, как они воспринимаются органами чувств животных и человека.

Если упругие волны, распространяющиеся в воздухе, имеют частоту в пределах примерно от 20 до 20000 гц, то, достигнув человеческого уха, они вызывают ощущение звука. В соответствии с этим упругие волны в любой среде, имеющие частоту, лежащую в указанных пределах» называют звуковыми волнами или просто звуком. Упругие волны с частотой, меньшей 20 гц, называют инфразвуком; волны с частотами, превышающими 20000 гц, называют ультразвуком. Инфра- и ультразвуки человеческое ухо не слышит.

Звуковая волна в газах и жидкостях может быть только продольной и состоит из чередующихся сжатий и разрежений среды. В твердых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны.

Воспринимаемые звуки люди различают по высоте, тембру и громкости. Каждой из этих субъективных оценок соответствует определенная физическая характеристика звуковой волны.

Всякий реальный звук представляет собой не простое гармоническое колебание, а является наложением гармонических колебаний с определенным набором частот.

Набор частот колебаний, присутствующих в данном звуке, называется его акустическим спектром. Если в звуке присутствуют колебания всех частот в некотором интервале от v ' до v ", то спектр называется сплошным. Если звук состоит из колебаний дискретных (т.е. отделенных друг от друга конечными интервалами) частот v₁, v₂, v₈ и т. д., то спектр называется линейчатым. На рис. показан сплошной (вверху) и линейчатый (внизу) спектр. По оси абсцисс отложена частота колебания v, по оси ординат — его интенсивность I.

Сплошным акустическим спектром обладают шумы. Колебания с линейчатым спектром вызывают ощущение звука с более или менее определенной высотой. Такой звук называется тональным.

Высота тонального звука определяется основной (наименьшей) частотой. Относительная интенсивность обертонов (т.е. колебаний с частотами v₂, v₃ и т. д.) определяет окраску, или тембр, звука. Различный спектральный состав звуков, возбуждаемых разными музыкальными инструментами» позволяет отличить на слух, например, флейту от скрипки или рояля.

Вектор Умова.

Если на пути распространения волны поставить некоторую площадку dS, то в этом случае говорят о потоке энергии через эту площадку.

Отношение энергии, переносимой сквозь некоторую площадку к промежутку времени, за который произошел ее перенос, называют потоком энергии.

Согласно определению можно записать формулу потока энергии:

Используя объемную плотность энергии w, запишем полную энергию волны dW= w (vdt) dS сos a, где ℓ = vdt - расстояние, на которое перемещается волна, имея скорость v за малое время dt; a - угол между векторами скорости и нормали к площадке

или , где .

Следовательно, поток энергии переносимый волной или

где называют вектором Умова-Пойнтинга, или вектором плотности потока энергии.

Вывод: Модуль вектора Умова-Пойнтинга характеризует плотность потока энергии волны, переносимой через площадку перпендикулярно направлению распространению волны т.е.,

.

32. Преобразования Галилея – Ньютона. Предпосылки создания СТО.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью и (и — const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть впроизвольный момент времени t расположение этих систем относительно друг друга имеет вид, изображенный на рисСкорость и направлена вдоль 00', радиус-вектор, проведенный из О в О', . Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. Из рис.видно, что .

Это уравнение можно записать в проекциях на оси координат:

Данные уравнения носят название преобразований координат Галилея.

В частном случае, когда система К' движется со скоростью v вдоль положительного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид:

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т.е. к преобразованиям можно добавить еще одно уравнение: t=t'. Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики ( ), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца.

Продифференцировав выражение по времени, получим уравнение , которое представляет собой правило сложения скоростей в классической механике.

Ускорение всистеме отсчета К:

Таким образом, ускорение точки А в системах отсчета К и К', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково: .

Следовательно, если на точку А другие тела не действуют ( = 0), то и = 0, т.е. система К' является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Из уравнения также следует, что если выполняется равенство F = та, то выполняется и равенство F' = то! (масса имеет одинаковое числовое значение во всех системах отсчета). Поскольку системы К и К' были выбраны произвольно, то полученный результат означает, что уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой формулируются одинаково. Это утверждение и есть механический принцип относительности (принцип относительности Галилея).

Специальная теория относительности (СТО) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями. Основным отличием СТО от классической механики является зависимость (наблюдаемых) пространственных и временных характеристик от скорости.

Центральное место в специальной теории относительности занимают преобразования Лоренца, которые позволяют преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Специальная теория относительности была создана Альбертом Эйнштейном в работе 1905 года «К электродинамике движущихся тел».

Создание СТО

Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики. Результатом обобщения и теоретического осмысления экспериментальных фактов и закономерностей в областях электричества и магнетизма стали уравнения Максвелла, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от скоростей движения, как источника этих волн, так и наблюдателя, и равна скорости света. Таким образом, уравнения Максвелла оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея, что противоречило классической механике.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является верной теорией в своей области применимости. По меткому замечанию Л. Пэйджа, «в наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать».

33. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца.