Cвязь между потенциальной энергией и силой

Каждой точке потенциального поля соответствует одной стороны, некоторое значение вектора силы f, действующей на тело, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии тела U. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь. Для установления этой связи вычислим элементарную работу, ΔAсовершаемую силами поля при малом перемещении тела Δs, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое мы обозначим буквой s.

Эта работа равна:

, где — проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии, она равна убыли потенциальной энергии — на отрезке оси :

Тогда , откуда

Это выражение даст среднее значение на отрезке . Чтобы получить значение в данной точке, нужно произвести предельный переход:

Поскольку может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в формуле представляет собой, так называемую частную производную от по : .

Соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности, и для направления декартовых координатных осей x, y, z:

Формулы определяют проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

В математике вектор , где a — скалярная функция x, y, z, называется градиентом этого скаляра и обозначается символом Следовательно, сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком

Условия равновесия механических систем.

В замкнутой системе полная энергия остается постоянной, поэтому кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии. Если система находится в таком состоянии, что скорости всех тел равны нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне тела системы не могут прийти в движение, т. е- система будет находиться в равновесии.

Таким образом, для замкнутой системы равновесной может быть только такая конфигурация тел, которая соответствует минимуму потенциальной энергии системы.

Рассмотрим случай, когда взаимное расположение тел системы может быть определено с помощью только одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести систему Земля — шарик, скользящий без трения по укреплённой неподвижно изогнутой проволоке. Другим примером может служить прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий по горизонтальной направляющей.

Минимумам U соответствуют значения x равные x_{0 -} длина недеформированной пружины

Условие минимума U имеет вид

Условие равнозначно тому, что (когда U является функцией только одной переменной x, ).

Таким образом, конфигурация системы, соответствующая минимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что силы, действующие на тела системы, равны нулю. Этот результат остается справедливым и в общем случае, когда U является функцией нескольких переменных.

В случае, изображенном на рис., условия выполняются также для x, равного (т. е, для максимума U). Определяемое этим значением положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при x=x₀ будет неустойчивым: достаточно слегка вывести шарик из этого положения, как возникает сила, которая будет удалять шарик от положения . Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчивого равновесия (для которого x=x₀), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия.

Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия системы, можно сделать ряд заключений о характере движения системы. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рис. Если полная энергия системы имеет значение, соответствующее проведенной на графике горизонтальной черте, то система может совершать движение либо в пределах от x₁ до x₂ либо в пределах от x₂ до бесконечности. В область x<x₁ и x₂<x<x₃ система проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия стала бы отрицательной). Таким образом, область x₂<x<x₃ представляет собой потенциальный барьер, через который система не может проникнуть, имея данный запас полной энергии.

Рис. поясняет, как с помощью графика U определить кинетическую энергию, которой обладает система при данном значении х.

21. Неинерциальная система отсчета.