Относительность промежутков времени

Снова рассмотрим вагон, который движется со скоростью . Предположим, что пассажир вагона подбрасывает яблоко; оно летит вертикально вверх, возвращается, и пассажир ловит его. В системе отсчёта вагона события «яблоко брошено» и «яблоко поймано» происходят в одной точке. Промежуток времени между этими событиями, т. е. время полёта яблока в системе отсчёта вагона, измеряется по одним и тем же часам, расположенным в точке броска-ловли. Но в системе отсчёта земли наши события происходят в различных пространственных точках. Момент броска яблока фиксируется по часам, расположенным в исходной точке, а момент ловли — по другим часам, расположенным в той точке, куда переместится вагон за время полёта яблока. Эти двое часов синхронизированы по правилу Эйнштейна. Время полёта яблока в системе отсчёта земли — это разность показаний вторых часов в момент ловли и первых часов в момент броска. И вот оказывается, что время полёта яблока, измеренное по вагонным часам, будет меньше времени полёта, измеренного по часам на земле! Разобраться в этом не сложно. Давайте только заменим яблоко на световой сигнал, который бегает между горизонтальными зеркалами, расположенными внутри вагона (рис. 6). Тем самым мы максимально упростим себе задачу.

Сначала рассмотрим ход сигнала в системе отсчёта вагона. Сигнал выходит из точки A, идёт вертикально вверх, отражается от зеркала и возвращается назад в точку A (рис. 6, слева). Время распространения сигнала от нижнего зеркала к верхнему и обратно, измеренное по часам A, обозначим . Если — расстояние между зеркалами, то выполнено соотношение

Теперь перейдём в систему отсчёта земли. Здесь сигнал будет двигаться между зеркалами по ломаной ABC (рис.6, справа). Время распространения сигнала от нижнего зеркала к верхнему и обратно есть разность показаний синхронизированных часов: в точке C в момент прихода сигнала и в точке A в момент его отправления. Обозначим это время через τ. За время τ сигнал проходит путь AB +BC, равный cτ, а вагон — путь AC = vτ. По теореме Пифагора имеем: или .

Умножаем это равенство на 4: С учётом получим: .

Отсюда можно выразить τ через :

Полученная формула носит совершенно общий характер. Пусть имеются две системы отсчёта и , причём система движется относительно со скоростью . Рассмотрим два события, которые в системе происходят в одной точке пространства. Время между этими событиями в системе называется собственным временем. По часам системы между этими событиями проходит время , которое связано с собственным временем соотношением

Обратим внимание, что в этой формуле собственное время делится на величину, меньшую единицы; поэтому всегда выполнено неравенство > При этом время τ оказывается тем больше, чем с большей скоростью система движется относительно . Данный эффект — так называемое релятивистское замедление времени — оказывается весьма существенным при скоростях, близких к скорости света.