Уравнение динамики вращения твердого тела

, где - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения.

Момент инерции – мера инертности тела при его вращении вокруг неподвижной оси.

14. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А; р = mv — импульс материальной точки; L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента импульса , где — угол между векторами и ; — плечо вектора относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси.

Момент импульса отдельной частицы равен

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

, , т.е.

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение по времени:

, т.е. .

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

.

- сохранение проекции импульса.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

15. Понятия о гироскопе. Его основные свойства.

Гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью. Свободными осями (или оси свободного вращения ) - такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил.

Одним из способов подвеса является установка гироскопа в кардановых кольцах. Подвешенный таким образом гироскоп получает возможность поворачиваться вокруг следующих трех взаимно перпендикулярных и пересекающихся в одной точке O осей:

- оси вращения самого гироскопа, называемой главной осью или осью собственного вращения;

- оси вращения внутреннего кольца;

- оси вращения наружного кольца подвеса.

Три возможных вращения гироскопа в кардановом подвесе являются его степенями свободы; такой гироскоп называется гироскопом с тремя степенями свободы.

Точка пересечения указанных осей называется точкой подвеса гироскопа. Точка подвеса является единственной неподвижной точкой, вокруг которой происходит вращательное движение гироскопа.

Гироскоп с тремя степенями свободы, у которого центр тяжести всей системы, состоящей из ротора и кардановых колец, совпадает с точкой подвеса и к которому не прикладываются внешние вращающие силы, называется уравновешенным или свободным.

Благодаря быстрому вращению свободный гироскоп приобретает интересные свойства, широко используемые во всех гироскопических приборах.

Основные свойства свободного гироскопа следующие:

а) ось вращения гироскопа обладает устойчивостью, т. е. стремится сохранить первоначально заданное ей положение относительно мирового пространства.

Устойчивость оси тем больше, чем точнее центр тяжести системы совпадает с точкой подвеса, т. е. чем лучше отбалансирован гироскоп, чем меньше силы трения в осях карданова подвеса и чем больше вес гироскопа, его диаметр и скорость вращения. Устойчивость оси вращения дает возможность использовать свободный гироскоп в качестве прибора для обнаружения суточного вращения Земли, так как по отношению к земным предметам ось может совершать кажущееся или видимое движение;

б) под действием силы, приложенной к кардановым кольцам, ось гироскопа перемещается в плоскости, перпендикулярной направлению действия силы.

Такое движение гироскопа называется прецессионным движением или прецессией. Прецессионное движение происходит в течение всего времени действия внешней силы и прекращается с прекращением ее действия.

Для определения направления прецессии пользуются, например, правилом полюсов.

Полюсом гироскопа является тот конец его главной оси, со стороны которого вращение наблюдается происходящим против часовой стрелки. Полюсом силы называется тот конец оси гироскопа, со стороны которого действие приложенной к нему внешней силы кажется происходящим против часовой стрелки. Правило полюсов формулируется следующим образом: при приложении к гироскопу момента внешней силы полюс гироскопа кратчайшим путём стремится к полюсу силы.

Произведение момента инерции гироскопа на угловую скорость его собственного вращения JΩ называется кинетическим моментом гироскопа. Обычно кинетический момент изображается отрезком, направленным вдоль главной оси гироскопа, со стрелкой в сторону полюса гироскопа (см. рис 2).

Угловая скорость прецессии ω может быть подсчитана по формуле: ω = M / JΩ, где М — момент внешней силы.

Основное уравнение:

16. Понятия работы и мощности.