Изучение различных моделей кригинга

Методы кригинга полагаются на математические и статистиче­ские модели. Учет вероятности в статистической модели отлича­ет методы кригинга от детерминистских методов, описанных в Главе 5, 'Детерминистские методы интерполяции пространст­венных данных'.

При кригинге вы связываете некую вероят­ность с выполняемой вами интерполяцией; это означает, что зна­чения не могут быть получены по статистической модели абсо­лютно точно.

Рассмотрим пример с измеренными значениями содержания нитратов в почве. Очевидно, что даже при наличии большой выборки, вы не сможете вычислить точное значение содержания нитратов в какой-нибудь конкретной точке, в ко­торой измерения не проводились.

Следовательно, вы можете только попытаться проинтерполировать ее значение, и при этом оценить ошибку интерполяции.

Методы кригинга основываются на понятии корреляции. Кор­реляцию часто определяют как тенденцию двух типов перемен­ных к взаимозависимости.

Например, уровень цен на фондовой бирже имеет тенденцию к позитивным изменениям при низком спросе, поэтому говорят, что они обратно коррелируют. Кроме того, можно утверждать, что уровень цен на бирже имеет поло­жительную корреляцию, что означает, что он коррелирует сам с собой.

На фондовом рынке два значения цены будут иметь тен­денцию к совпадению, если они относятся к двум датам, следую­щим одна за другой, в отличие от дат, которые разделяет год. Величина, при которой корреляция исчезает, может быть вы­ражена как функция расстояния.

На рисунке ТТТ корреляция показана как функция рас­стояния. Это определяющая характеристика геостатистики. В классической статистике предполагается, что наблюдения явля­ются независимыми; следовательно наблюдения не коррелиру­ют между собой. В геостатистике, информация о положении точек наблюдения в пространстве позволяет вам вычислить рас­стояния между точками наблюдения и смоделировать корреля­цию как функцию расстояния.

Рисунок ТТТ

Также обратите внимание, что в целом, цены фондового рынка растут, и такая тенденция носит название "тренда". Для гео­статистических данных, вы оперируете теми же терминами, которые могут быть выражены простой математической фор­мулой.

Где - интересующая нас переменная, разложенная на детерминистский тренд т (s), и случайные, коррелирующие ошиб­ки е(s). Символ s просто указывает на положение точки; то есть обладает координатами х- (долгота) и у- (широта).

Различные варианты этой формулы образуют основу для различных типов кригинга, поэтому она стоит усилий, потраченных на ознаком­ление с ней.

Не имеет значения, насколько сложным в модели является тренд, - составляющая m(s) все равно не сможет дать точных проинтерполированных значений. В этом случае, делаются не­которые допущения относительно ошибки е(s); а именно, пред­полагается, что среднее значение ошибки будет равно 0 и кор­реляция между е(s) и е(s+h) не зависит от действительного положения точки s, а только от взаимного расположения двух точек, или расстояния h. Это необходимо для оценки функции корреляции. Например, для примера на следующем рисунке, предполагается, что случайные ошибки для пар точек, соединенных стрелками, будут одинаково коррели­ровать.

Далее, изучите тренд. Он может быть простой константой; то есть, m(s) =т для всех точек, и если m известно, это и является моделью, на которой основан ординарный кригинг.

Он также может быть представлен линейной функцией самих простран­ственных координат, например,

где поверхность тренда представлена полиномом второй степе­ни и является линейной регрессией пространственных коорди­нат х и у.

Тренды, которые варьируют, и для которых коэффи­циенты регрессии неизвестны, образуют модели универсально­го кригинга.

Если же полностью известен тренд (т.е., известны все параметры и ковариаты), независимо от того, является он постоянным или нет, он образует модель для простого кригинга.

Теперь рассмотрим левую часть выражения, Z(s) =т (s) +е (s).

Вы можете выполнить преобразования значения Z(s). На­пример, вы можете изменить его на индикаторную перемен­ную, то есть значениям Z(s) будет присвоен 0, если они ниже некоторой величины (например, 0.12 ррт для концентрации озона) или 1, если они превышают какое-либо значение.

Затем, вы можете спрогнозировать вероятность того, что Z(s) - выше порогового, и такая интерполяция будет носить назва­ние индикаторного кригинга.

Вы можете также выполнить об­щие преобразования для значений Z(s), назвав их функцией f_i(Z(s_i)) для i -той переменной.

Из функций переменных вы мо­жете образовать интерполяторы; например, если вы хотите найти значение показателя в точке s₀,

вы формируете интерпо­лятор дизъюнктивного кригинга из значений функции g (Z(s_Q)) с использованием данных функции f_i(Z(s_i)).

В модуле Geostatistical Analyst, функция g - либо индикаторное преобразо­вание, либо отсутствие преобразования.

И наконец, рассмотрим случай, когда у вас есть больше одного типа переменных, и вы формируете модели Z_j(s)=m_j(s)+e_j(s) для j -того типа переменной.

Вы можете учесть различные трен­ды для каждой переменной, и помимо этого, автокорреляцию для ошибок е_j(s).

Существует также взаимная корреляция меж­ду ошибками е_j(s) и е_k(s) для двух типов переменных. Напри­мер, вы можете учесть взаимную корреляцию между двумя пе­ременными, такими как концентрация озона и определенного вещества, и они необязательно должны быть измерены в одних и тех же точках.

Модели, основанные на более чем одной пере­менной, образуют базу для кокригинга.

Вы можете создать ин­дикаторную переменную для значений Z(s) и, если вы будете вычислять искомое значение с использованием исходных непреобразованных данных Z(s) в модели кокригинга, вы получите вероятностный кригинг.

Если изначально у вас есть более одной переменной, для которой вы хотите интерполировать поверх­ность, вы можете рассматривать ординарный кокригинг, уни­версальный кокригинг, простой кокригинг, индикаторный кок­ригинг, вероятностный кокригинг и дизъюнктивный кокригинг, как многовариантные расширения различных типов кригинга, описанных ранее.