Построение эмпирической вариограммы

Для создания эмпирической вариограммы необходимо вычис­лить квадрат разности между значениями для всех пар опорных точек. Если вы нанесете эти значения на график, отложив по оси у половину квадрата разности, а по оси х - расстояние, на кото­рое отстоят опорные точки, вы получите диаграмму, которая носит название облака вариограммы. На нижнем рисунке пока­заны пары одной из опорных точек (которая показана красным цветом) с 11 другими опорными точками.

Одна из основных целей вариографии - изучение и количествен­ная оценка пространственной зависимости, которая также но­сит название пространственной автокорреляции. Пространст­венная автокорреляция количественно оценивает предположе ние, что объекты, расположенные ближе друг к другу, более похожи чем удаленные друг от друга. Таким образом, пары опорных точек, которые расположены ближе (на облаке вариограммы это точки, расположенные в начале оси х) будут иметь сход­ные значения (низкие значения на оси у облака вариограммы). Поскольку пары опорных точек становятся удаленными на все большее расстояние (движение вправо по оси х облака варио­граммы), точки должны становиться более непохожими и иметь более высокое значение квадрата разности (увеличение значе­ний по оси у облака вариограммы).

Рисунок - шш

Бининг (группировка значений) эмпирической вариограммы

Как вы видите из рисунка шш, на котором показано расположение точек в ландшафте и облако варио­граммы, задача нанесения на график каждой пары опорных точек трудновыполнима из-за большого объема данных. Большое количество точек на графике делает его пере­груженным, и вы не можете адекватно интерпретировать его. Чтобы сократить количество точек на эмпирической вариограм-ме, пары опорных точек должны быть сгруппированы на основе их удаленности друг от друга. Этот процесс группировки значе­ний известен, как бининг.

Бининг - это двухстадийный процесс. Во-первых, формируются пары точек, а во-вторых, эти пары группируются таким образом, чтобы точки были удалены на одинаковое расстояние и распола­гались в одинаковом направлении. На изображении ландшафта с 12 опорными точками, вывидите, как подобраны пары для одной опорной точки, показанной красным цветом. Одинаковым цве­том соединяющих отрезков показаны пары со сходными бинами.

Этот процесс продолжается для всех возможных пар точек. Как вы можете заметить, в процессе образования пар, число пар быстро увеличивается с добавлением каждой новой опорной точ­ки. Поэтому для каждого бина на графике облака вариограммы среднее значение расстояния и дисперсии для всех пар этого бина отображается одной точкой.

На рисунке внизу показаны все возможные парные связи между всеми 12 опорными точками. Точки развернуты таким образом, чтобы север был вверху.

Рисунок

На втором этапе процесса бининга, пары группируются на осно­ве аналогичных расстояний и направлений. Представьте такой график, на котором каждая точка имела бы одно и то же начало координат. Это свойство делает эмпирическую вариограмму сим­метричной. Всегда откладывайте связующие отрезки справа от вертикальной оси.

Вы видите, что связующие отрезки 1 и 2 имеют приблизительно одно и то же расстояние и направление. Каждая ячейка грида образует бин. Связующие отрезки 1 и 2 попадают в один и тот же бин, показанный желтым цветом. Для связующего отрезка 1 найдите квадрат разности значений двух связанных опорных точек, и то же самое проделайте для связующего отрезка 2. За­тем найдите их среднее и умножьте его на 0.5, чтобы получить одно значение эмпирической вариограммы для бина.

Выполните эту операцию для другого бина, показанного зеле­ным цветом, со связующими отрезками 3 и 4. Чтобы упростить понимание, показаны только четыре связи, но конечно же, их гораздо больше.

Для каждого бина определяется квадрат разности значений для всех пар связываемых опорных точек, затем вычисляется сред­нее значение, оно умножается на 0.5, и мы получаем одно значе­ние вариограммы для бина. В модуле Geostatistical Analyst вы можете контролировать размер лага и число бинов. Значение эмпирической вариограммы для каждого бина обозначается цве­том, полученное изображение носит название поверхности ва­риограммы.

На верхнем рисунке показаны семь бинов по горизонтали и по вертикали от центра поверхности вариограммы. Для бинов "хо­лодные" цвета (синие и зеленые) обозначают низкие значения, а "теплые" цвета (красный и оранжевый) обозначают высокие значения. Как видите, в целом, значения эмпирической варио­граммы увеличиваются по мере удаления бинов от центра. Это означает, что значения сильнее различаются с увеличением рас­стояния. Также обратите внимание на симметрию, описанную ранее.

В модуле Geostatistical Analyst можно также построить график эмпирической вариограммы.

На графике, приведенном выше, значение эмпирической вари­ограммы для каждого бина для каждого направления показано красной точкой (по оси у отложены значения эмпирической ва­риограммы, а по оси х - расстояние от центра бина до начала координат (центра поверхности вариограммы)). Цветовая шка­ла справа от графика соответствует цветам на поверхности ва­риограммы. После выполнения бининга и усреднения значений облака вариограммы, становится более очевидным, что разли­чия увеличиваются с расстоянием. Желтая линия на верхнем рисунке - это подобранная модель вариограммы, которую мы будем обсуждать далее.