Дәрістер: №12-13. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері

Жоспар:

1. Есептің қойылуы.

2. Рунге - Кутта әдісі.

3. Коши есебінің қойылуы.

4. Эйлер және Эйлер-Коши әдістері.

Кілттік сөздер: дифференциалдық теңдеулер, Коши есебінің мәні. Аналитикалық, графикалық және сандық әдістер

1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер дегеніміз-бірінші ретті теңдеулер болып табылады. Классикалық анализде дифференциалдық теңдеудің шешімін элементарлық және арнайы функция арқылы табудың көптеген тәсілдері берілген. Бірақ, Зертханалық есептерді шешкенде бұл әдістердің кейде тіпті көмегі болмайды, яғни олардың шешімдері рұқсат етілмейтін шешімдер болады. Сондықтан Зертханалық есептерді шығаруға арналған дифференциалды теңдеулерді жуықтап шешудің әдістері ұйымдастырылған.

Бұл әдістерді формасына қарай үшке бөлуге болады:

1. Аналитикалық әдіс.

2. Графикалық әдіс.

3. Сандық әдіс.

түріндегі бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеудің шешімі, жоғарыдағы әдістердің бірімен қарастырылған. Ол n-ші ретті дифференциалдық теңдеуі де қамтиды:

, сондықтан, коши есебінің мәні- бастапқы шартты

, қанағаттандыратын шешімді табуда болып табылады. Мұнда, -берілген сан болса, онда оларды бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтіруге болады.

Мысалы: Екінші ретті дифференциалдық теңдеуді

бірінші ретті екі теңдеулер жүйесі түрінде жазуға болады, яғни

; жоғарыда аталған тәсілдермен шешімдерін зерттеңіз.

2. Рунге - Кутта әдісі бойынша дифференциалдық теңдеуді шешу программасын құру керек. Ол үшін,

Осы формуладан шығатын сипатталған алгоритм қадамдарын атап өтейік:

1. бастапқы шартты енгізу және оларды сәйкесінше А және В деп белгілейміз,

2. h интегралдау қадамын және интегралдау кесіндісіндегі ең соңғы В нүктесін енгіземіз,

3. х бойынша А нүктесінен В нүктесіне дейін h қадаммен қайталану орындалады, 4. х пен у басылымға беріп шығару керек,

5. есептеу керек, 6. есептеу керек,

7. жаңа мәнді есептеу керек;; 8. х бойынша циклдың соңы.

Алгоритмдерді пайдаланып, Рунге - Кутта әдісі бойынша дифференциалдық теңдеуді шешу программасын құрып, ЭЕМ-де нәтижесін алу қажет.