Ньютонның интерполяцияланған формулалары негізінде сандық дифференциалдау

функция үшін оның тең түйіндері үшін Ньютонның бірінші интерполяциялық көпмүшелігін жазайық (14-ті қара):

Осы полиномдағы барлық жақшаларды ашып, оны басқаша

былай жазамыз.

Осы теңдікті бойынша дифференциалдасақ (5.9) формула сияқты

(14) формуланы аламыз.

Осы сияқты жолмен функция үшін оның жоғары ретті туындыларын табудың формулаларын алуға болады. Бірақ, функциясының кезелген нүктесіндегі туындысын тапқанда үшін сол жақ түйінге жақын нүктені алу керек.

Егер -тің мәні кестедегі түйінмен сәйкес келсе (14) формула әжептәуір қарапайым түрге көшеді. Бұл жағдайда әрбір түйінді бастапқы түйін деп есептеуге болады, яғни осыған сәйкес , деп алсақ (14) формула

(15)

формулаға көшеді.

Бұл формула кесте арқылы берілген функциялардың туынды-ларының мәндерін оңай және дәл табуға мүмкіндік тудырады.

Осыны көрсету үшін туындысы әдеттегі әдіспен оңай табылатын бір функцияны мысалға келтірейік.

Мысал. функциясының нүктедегі мәнін 5.3 кестені пайдаланып табу керек. Мұнда ;

3 кесте

x
	5.657		-2		-1
	5.745		-1
	5.831		-1
	5.916
	6.000

(15) формуланы кестенің бірінші жолында берілген мәндерге қолданып (үшінші ретті айырымды қоса алғанда)

болатынын көреміз. Енді функциясының әдеттегі формула бойынша нүктедегі мәнін табайық, сонда

Есептеулер нәтижесіндегі шыққан мәндердегі үтірден кейінгі екі мәннің дәл келетінін көреміз.

Дифференциалдау қателігінің формуласын қорыту үшін 5.3 пункттегі әдісті пайдаланамыз. (10) формуланы Ньютонның интерполяциялық көпмүшелігіне қолдансақ:

теңдік аламыз, мұндағы мән түйіндер мен берілген нүктесінің арасындағы әйтеуір бір кезкелген мән. функциясы рет дифференциалданады деп есептеп. Дифференциалдау қателігін бағалауға арналған ((5.11)формула сияқты)

(16)

формула аламыз.

Осы қателікті кестенің бір түйіні үшін есептесек ( және болғанда)

теңдікті аламыз.

Мұнда болғанда болатыны ескерілген.

Практикада -ді бағалау қарапайым бола бермейді, сондықтан аз болғанда

деп есептейміз, сонда дифференциалдау қателігін бағалау үшін

жуық формула аламыз.