Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : корисність

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є: корисність, лотерея, детермінований еквівалент, премія за ризик, портфель, коефіцієнт кореляції, управління портфелем.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Корисність за Нейманом

У задачах прийняття рішень за умов невизначеності та ризику поняття про оптимальність вибору базується на властивостях функції корисності суб’єкта, що здійснює цей вибір.

Ідея введення функції корисності досить проста. Припустимо, що набір А товарів (послуг) пріорітетніший для певної особи, ніж набір В (тобто А>В). Функція корисності U співставляє цим набором певні числа у такий спосіб, щоб виконувалася нерівність .

Функція корисності Дж. Неймана і О. Моргенштерна будується за допомогою поняття лотереї. З множини значень економічного показника Х виділяють найменш пріоритетне та найбільш пріоритетне . Їм приписують довільні числові значення та у такий спосіб, щоб виконувалася умова: . Часто покладають , .

Суб’єкту, функція корисності якого досліджується, пропонують альтернативу:

1) фіксоване значення показника (величину гарантованого виграшу);

2) лотерею , тобто ситуацію, в якій особа може отримати з ймовірністю або з ймовірністю .

Корисність варіанту може бути визначена ймовірністю , при якій експерту байдуже, що обирати: - гарантовано, чи лотерею . Зрозуміло, що така ймовірність є суб’єктивною.

Припустимо, що значенням відповідають ймовірності . Математичне сподівання (яке ще позначають ще ) визначають за формулою .

Має місце важлива формула, що використовується у теорії сподіваної корисності: .

Одне з основних понять при вивченні ризику за допомогою функції корисності – це поняття детермінованого еквівалента лотереї. Детермінований еквівалент лотереї - це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї: .

Величина визначається з рівняння

.

Зазначимо, що коли можливі виграші описуються щільністю розподілу , то для визначення та користуються формулами

, .

Особа, яка приймає рішення, може бути несхильною, схильною або байдужою до ризику. Якщо для цієї особи більш пріоритетною є можливість гарантовано отримати лотереї, то особа несхильна до ризику.

Умова несхильності до ризику аналітично описується так: .

Особа схильна до ризику, якщо для неї більш привабливою є участь у лотереї. Умова схильності до ризику описується протилежною керівністю: .

Умова байдужості до ризику (коли особі все одно, отримати гарантований виграш чи брати участь у лотереї) має форму . Локальна нехильність до ризику у точці визначається за допомогою функції несхильності .

Портфель з багатьох акцій

Нехай - норма прибутку від і -го цінного паперу за період (виражена у відсотках), , де - кількість видів цінних паперів, - обсяг вибірки. Нехай - частка інвестицій в і -ий цінний папір (), так що . Тоді норма прибутку портфеля у періоді визначається за формулою;

Математичне сподівання норми прибутку виражається аналогічно:

,

де . Ризик портфеля обчислюють за формулою

,

причому - дисперсія норми прибутку і -го цінного паперу:

,

а - коваріація між нормами прибутку і -го та j -го цінних паперів:

.

Семінарське заняття 3

Тема 5. Моделювання і оптимізація ризику та теорія ігор. Тема 6. Прийняття багатоцільових рішень за умов ризику

Питання для усного опитування та дискусії

5.1. Теорія гри та її застосування до оптимізації ризику.

5.2. Критерії Вальда, Байєса, Бернуллі - Лапласа.

5.3. Критерій мінімального ризику Севіджа.

5.4. Критерії Гурвіца та Ходжа - Лемана.

6.1. Поняття про багатоцільові та багатокритеріальні рішення.

Аудиторна письмова робота