Способ интегрирования по частям

При интегрировании функций, содержащих произведения, логарифмы и обратные тригонометрических функций, бывает удобно воспользоваться способом интегрирования по частям.

Выведем формулу интегрирования по частям.

Интегрируя обе части равенства получим откуда (5)

С помощью формулы (5) нахождение интеграла сводится к нахождению интеграла который может отказаться или проще данного, или даже известным.

При практическом использовании формулы интегрирования по частям данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей, которые обозначают и Множитель стараются выбрать так, чтобы было проще, чем .

Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:

12. .

Решение. Интеграл содержит произведение двух функций и . Способ подстановки не дает возможности найти этот интеграл. Обозначаем Применяем формулу интегрирования по частям:

Приняв

Если же в этом интеграле сделать другую замену: то легко убедиться, что полученный интеграл окажется сложнее исходного, т.е. замена окажется неудачной. Умение определить целесообразность той или иной замены приходит с приобретением навыка.

13.

Решение.

Иногда формулу интегрирования по частям приходиться применять дважды.

14.

Решение. Имеем

Примеры для самостоятельного решения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.