Моделювання випадкових величин

Якщо розглядати задачу в умовах невизначеності, то для її розв’язання можна застосувати такий підхід, який полягає в тому, що здійснюється моделювання випадкової величини шляхом розіграшу з допомогою деякої випадкової процедури, що дає випадковий результат. Цей результат може бути використаний в ролі “штучного” статистичного матеріалу, який можна вивчати методами математичної статистики. Такий метод носить назву “Метод Монте-Карло”.

Метод Монте-Карло з’явився у 1948 р. Його творцями є Дж. Нейман і С.Улам. Ці математики також відомі як творці теорії, що ввійшла в основу побудови електронно-обчислювальних машин. Назва методу походить від однойменного міста в королівстві Монако, відомого своїми ігорними домами. А основним механічним пристроєм, який генерує випадкові величини, є рулетка.

Іншою назвою методу Монте-Карло є статистичне моделювання. Статистичні моделі використовуються для моделювання певного випадкового процесу, найчастіше, з допомогою комп’ютера. І у цьому велику роль відіграє метод Монте-Карло. Цей метод може бути застосований до будь-яких задач, які мають вхідні випадкові дані, але найчастіше його використовують тоді, коли процедура розіграшу є простішою від аналітичних методів.

Розглянемо приклад із застосуванням цього методу.

Приклад. Нехай проводиться стрільба в мішень трьома незалежними пострілами, кожен з яких має ймовірність влучення . Знайти ймовірність хоча б одного влучення.

Спочатку наведемо розв’язок задачі, знайдений аналітичним методом теорії ймовірностей. Оскільки сприятлива подія може мати місце бути як після першого, другого чи третього пострілів, так і при одночасному влученні при декількох пострілах, то застосуємо теорему про додавання ймовірностей. Маємо

Р (k ³1)= P (1)+ P (2)+ P (3)=1– P (k <1).

Оскільки

P (k <1)=P(0),

а

,

то одержуємо

.

Розв’яжемо цю задачу методом статистичного моделювання. Здійснення пострілів ми можемо замінити киданням монети, оскільки ймовірність появи герба чи цифри така сама, як і ймовірність одного влучення. При цьому будемо вважати, що герб – влучення, цифра – промах. Здійснимо кидання трьох монет n разів та одержимо m – кількість випадків, у яких хоча б одна з монет випала гербом. Знайдемо частку . Вона буде близькою до числа .

Використовувати метод Монте-Карло можна у всіх випадках, де мають місце випадкові фактори, а проведення реального експерименту складне, потребує значних матеріальних затрат, небезпечне, або, взагалі, неможливе.

Для одержання випадкових величин можна використовувати різноманітні пристрої. Такими можуть бути механічні пристрої (монета, кубик з цифрами, диск з цифрами, тощо), електронні пристрої (генератори випадкових чисел) та ін.

Механічні пристрої не завжди добре генерують випадкові числа, оскільки важко забезпечити при виготовленні таких пристроїв абсолютну однорідність, що є передумовою рівноможливості результатів.

Електронні пристрої можуть будуватися на принципі вимірювання рівня шумів в електронній лампі чи напівпровідниковому приладі. Якщо за певний період рівень шуму перевищує заданий поріг парну кількість разів, то ставиться одиниця, якщо непарну – то нуль. Проте, і такі методи не є абсолютно досконалими. Іноді, випадкова, на перший погляд, величина (як і у випадку механічних пристроїв) має деякі закономірності. З цим у деяких випадках можна змиритися. Для багатьох тестів не надто важливою є наявність певної закономірності (так звана “якість”) випадкових чисел. Тому для відтворення методу Монте-Карло на комп’ютерах використовують генератори псевдовипадкових чисел (функція RND()). За допомогою такого генератора, як правило, одержують псевдовипадкові числа з діапазону [0;1]. Для отримання псевдовипадкових чисел з іншого діапазону застосовується лінійне перетворення.

Які алгоритми застосовують для одержання псевдовипадкових чисел? Одним з прикладів таких алгоритмів є алгоритм Дж. Неймана – метод середини квадратів. Він полягає в тому, що якщо маємо, наприклад, число x ₀=0,3425, то підносимо його до квадрату та одержуємо число 0,11730625, з якого вибираємо чотири середні цифри та одержуємо наступне псевдовипадкове число x ₁=0,7306. Підносячи це число до квадрату, та вибираючи середні цифри, одержуємо наступне число. Таким чином здійснюється генерація псевдовипадкових чисел.

Взагалі, більшість алгоритмів (формул) для одержання псевдовипадкових чисел мають рекурентний вигляд:

x_{k +1}= f (x_k).

Якщо задати перше випадкове число, то всі наступні числа обчислюються за тією ж формулою при k =1,2,3,...