Методы оценки систем в условиях неопределенности

Специфические черты организационно-технических систем часто не позволяют свести операции, проводимые системами, к детерминированным или вероятностным. К таким чертам относятся:

1) наличие в управляемой системе в качестве элементов (подсистем) целенаправленных индивидуумов и наличие в системе управления лица принимающего решение, осуществляющих управление на основе субъективных моделей, что и приводит к большому разнообразию поведения системы в целом;

2) алгоритм управления часто строит сама система управления, преследуя помимо предъявляемых старшей системой целей собственные цели, не всегда совпадающие с внешними;

3) на этапе оценки ситуации в ряде случаев исходят не из фактической ситуации, а из той модели, которой пользуется лицо принимающее решение при управлении объектом;

4) в процессе принятия решения большую роль играют логические рассуждения лица принимающего решение, не поддающиеся формализации классическими методами математики;

5) при выборе управляющего воздействия лицо принимающее решение может оперировать нечеткими понятиями, отношениями и высказываниями;

6) в большом классе задач управления организационно-техническими системами отсутствуют объективные критерии оценивания достижения целевого и текущего состояний объекта управления, а также статистика, достаточная для построения соответствующих вероятностных распределений (законов распределения исходов операций) для конкретного принятого решения.

Таким образом, несводимость операций, проводимых сложными организационно-техническими системами, к детерминированным или вероятностным не позволяет использовать для их оценки детерминистские и вероятностные критерии.

Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде таблица 1.55, в которой обозначены: a_i - вектор управляемых параметров, определяющий свойства системы (i=1,… m); n_j - вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки (j = 1,…,k); k_ij – значение эффективности системы a_i для состояния обстановки n_j; K(a_i) – эффективность системы a_i.

Таблица 1.55

Оценка эффективности для неопределенных операций

ai	nj	K(ai)
n1	n2	…	nk
a1	k11	k12	…	k1k
a2	k12	k22	…	k2k
…	…	…	…	…
am	km1	km2	…	kmk

Каждая строка таблицы содержит значения эффективности системы для всех состояний обстановки n_j, а каждый столбец – значения эффективности для всех систем a_i при одном и том же состоянии обстановки.

В неопределенной операции могут быть известны множество состояний обстановки и эффективность систем для каждой из них, но нет данных, с какой вероятностью может появиться то или иное состояние.

В зависимости от характера неопределенности операции могут делиться на игровые и статистически неопределенные. В игровых операциях неопределенность вносит своими сознательными действиями противник. Для исследования игровых операций используется теория игр. Условия статистически неопределенных операций зависят от объективной действительности, называемой природой. Природа рассматривается как незаинтересованная, безразличная к операции сторона (она пассивна по отношению к лицу, принимающему решение). Такие операции могут исследоваться с применением теории статистических решений.

Если операция, проводимая системой, уникальна, то для разрешения неопределенности при оценке систем используются субъективные предпочтения лица принимающего решение. По этой причине единого критерия оценки эффективности для неопределенных операций не существует. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выпора оптимальных систем. Основными требованиями являются:

1) оптимальное решение не должно меняться с перестановкой строк и столбцов матрицы эффективности;

2) оптимальное решение не должно меняться при добавлении тождественной строки или тождественного столбца к матрице эффективности;

3) оптимальное решение не должно меняться от добавления постоянного числа к значению каждого элемента матрицы эффективности;

4) оптимальное решение не должно становиться неоптимальным, а неоптимальное – оптимальным в случае добавления новых систем, среди которых нет ни одной более эффективной системы;

5) если системы a_i и a_j оптимальны, то вероятностная смесь этих систем тоже должна быть оптимальна.

В зависимости от характера предпочтений лица принимающего решение наиболее часто в определенных операциях используются следующие критерии:

· среднего выигрыша;

· Лапласа;

· осторожного наблюдения (Вальда);

· максимакса;

· пессимизма-оптимизма (Гурвица);

· минимального риска (Сэвиджа).

Рассмотрим эти критерии на примере.

Пример 1.8. Необходимо оценить один из трех разрабатываемых программных продуктов a_i для борьбы с одним из четырех типов программных воздействий k_i. Матрица эффективности представлена в таблице 1.56. Здесь a_i – i- й программный продукт, i={1,2,3}, k_j – оценка эффективности применения i- го программного продукта при j –м программном воздействии {j}={1,2,3,4}.

Таблица 1.56

Матрица эффективности программных продуктов

ai	kj
k1	k2	k3	k4
a1	0,1	0,5	0,1	0,2
a2	0,2	0,3	0,2	0,4
a3	0,1	0,4	0,4	0,3

Критерий среднего выигрыша предполагает задание вероятностей состояний обстановки p_i. Эффективность систем оценивается как среднее (математическое ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки:

, i=1,…,m.

Оптимальной системе будет соответствовать эффективность:

, i=1,…,m.

Если в данном примере задаться вероятностями применения программных воздействий p₁ =0,4, p₂ =0,2, p₃ = 0,1 и p₄ = 0,3, то получим следующие оценки систем:

;

;

.

Оптимальное решение – система a_2.

Для применения критерия среднего выигрыша необходим, по существу, перевод операции из неопределенной в вероятностную, причем произвольным образом.

Критерий Лапласа. В основе критерия лежит предположение: поскольку о состояниях обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятностными. Исходя из этого:

, i=1,…,m.

, i=1,…,m.

Рассчитаем эффективность систем по данному критерию для приведенного примера:

;

;

.

Оптимальное решение – система a₃. Критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.

Критерий осторожного наблюдателя (Вальда). Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях. Критерий основывается на том, что, если состояния обстановки неизвестны, нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффективности каждой системы.

В каждой строке матрицы эффективности находится минимальная из оценок по различным состояниям обстановки:

. i=1,…,m, j=1,…,t.

Оптимальной считается система из строки с минимальным значением эффективности:

, i=1,…,m, j=1,…,t.

Применение критерия максимина к нашему примеру дает следующие оценки:

;

;

.

Оптимальное решение – система a₂.

Максиминный критерий ориентируется на решение, не содержащее элементов риска: при любом из возможных состояний обстановки выбранная система покажет результат операции не хуже найденного максимина. Такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия. Другой недостаток – он не удовлетворяет требованию 3 (добавление постоянного числа к каждому элементу столбца матрицы эффективности влияет на выбор системы).

Критерий мксимакса. Этим критерием предписывается оценивать системы по максимальному значению эффективности и выбирать в качестве оптимального решения систему, обладающую эффективностью с наибольшим из максимумов:

, i=1,…,m, j=1,…,t.

, i=1,…,m, j=1,…,t.

Оценки систем на основе максимаксного критерия в нашем примере принимают такие значения:

;

;

.

Оптимальное решение – система a₁. Критерий максимакса – самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитает им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки и, естественно, в большей степени рискуют.

Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица). Это критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем неразумно проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое и самое низкое значение эффективности, занимать промежуточную позицию (взвешивать наихудшие и наилучшие условия) Для этого вводится коэффициент оптимизма α (0≤α≤1), характеризующий отношение к риску лица, принимающего решение. Эффективность систем находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальной и минимальной оценок:

.

Условие оптимальности записывается в следующем виде:

, 0≤α≤1.

Зададимся значением α=0,6 и рассчитаем эффективность систем для рассматриваемого примера:

;

;

.

Оптимальной системой будет a₁.

При α=0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина, при α=1 – к критерию максимакса. Значение α может определяться методом экспертных оценок. Очевидно, что чем опаснее оцениваемая ситуация, тем ближе величина α должна быть к единице, когда гарантируется наибольший из минимальных выигрышей или наименьший из максимальных рисков.

На практике пользуются значениями коэффициента α в пределах 0,3-0,7. В критерии Гурвица не выполняются требования 4 и 5.

Критерий минимального риска (Сэвиджа) минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. Для оценки систем на основе данного критерия матрица эффективности должна бать преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце:

.

После преобразования матрицы используется критерий минимакса:

;

.

Оценим эффективность систем из приведенного примера в соответствии с данным критерием. Матрице эффективности будет соответствовать матрица потерь (табл. 1.57).

Таблица 1.57

Матрица потерь

ai	kj
k1	k2	k3	k4
a1	0,1		0,3	0,2
a2			0,2
a3	0,1	0,1		0,1

Оптимальное решение, при оценки систем по критерию Сэвиджа – система a₃. Критерий минимального риска отражает сожаление по поводу того, что выбранная система не оказалась наилучшей при определенном состоянии обстановки. Так, если произвести выбор системы a₁, а состояние обстановки в действительности k₃, то сожаление, что не выбрана наилучшая из систем (a₃), составит – 0,3. О критерии Сэвиджа можно сказать, сто он, как и критерий Вальда, относится к числу осторожных критериев. По сравнению с критерием Вальда в нем придается несколько большее значение выигрышу, чем проигрышу. Основной недостаток критерия – не выполняется требование 4.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по ряду критериев. На выбор того или иного критерия оказывают многие факторы:

1) природа конкретной операции и ее цель (в одних операциях допустим риск, в других – нужен гарантированный результат);

2) причины неопределенности (одно дело, когда неопределенность является случайным результатом действия объективных законов природы, и другое, когда она вызывается действиями разумного противника, стремящегося помешать в достижении цели);

3) характер лица, принимающего решение (одни люди склонны к риску в надежде добиться большего успеха, другие предпочитают действовать всегда осторожно).

Выбор какого-то одного критерия приводит к принятию решения по оценке систем, которое может быть совершенно отличным от решений, диктуемых другими критериями, что наглядно подтверждают результаты оценки эффективности систем применительно к примеру по рассмотренным критериям (табл. 1.58).

Таблица 1.58

Сравнительные результаты оценки систем

ai	kj	K(ai) по критериям
k1	k2	k3	k4	Среднего выигрыша	Лапласа	Вальда	Макси-макса	Гурвица	Сэвиджа
a1	0,1	0,5	0,1	0,2	0,21	0,225	0,1	0,5	0,34	0,3
a2	0,2	0,3	0,2	0,4	0,28	0,275	0,2	0,4	0,32	0,2
a3	0,1	0,4	0,4	0,3	0,25	0,300	0,1	0,4	0,28	0,1

Тип критерия для выбора рационального варианта должен быть оговорен на этапе анализа систем, согласован с заказывающей организацией и в последующих задачах синтеза информационных и других сложных систем предполагается заданным. Процесс выбора вида критерия для учета неопределенности достаточно сложен. Устойчивость выбранного рационального варианта можно оценить на основе анализа по нескольким критериям. Если существует совпадение, то имеется большая уверенность в правильности выбора варианта.