Строение доказательства

Доказательство есть такой про­цесс мысли, результат которого представляет собой последовательность утверждений, расположенных в определенном логи­ческом порядке.

В структуре формального и неформального до­казательств выделяют следующие элементы: тезис, аргументы и форму (демонстрацию).

Тезисом доказательства называют то утверждение, которое подлежит доказательству. В формальных доказательствах, а также в некоторых науках, использующих дедуктивные про­цедуры, доказываемое утверждение именуют теоремой. Тезис является логически центральным элементом в доказательстве.

Аргументы — это положения, которые используются для до­казательства данного тезиса. Поскольку аргументы суть те ис­тинные утверждения, которые определяют истинность тезиса, их называют иногда основаниями доказательства. В формаль­ных доказательствах они именуются посылками.

В качестве аргументов могут быть: утверждения, истинность которых доказана ранее, — таковыми являются теоремы, зако­ны и другие научные положения, аксиомы, определения и утверждения, содержащие высказывания о фактах. При дока­зательстве данного тезиса может быть использовано произволь­ное, но конечное число аргументов. Они могут принадлежать к утверждениям любого типа. Так, например, доказательства в геометрии основываются на аксиомах, определениях и вспо­могательных утверждениях, доказанных ранее.

Аргументы доказательства всегда находятся в определенной связи между собой, а также с тезисом. Способ этой связи на­зывается формой доказательства или демонстрацией. Аргумен­ты соединяются в умозаключения различного вида, последние соединяются в цепочку таким образом, что ее конечным звеном является тезис данного доказательства. Следовательно, форма доказательства показывает логическую последовательность пе­рехода от оснований к тезису.

.

Виды доказательств.

Существуют два основных вида дока­зательств: прямые доказательства и косвенные доказательства. Оба они широко представлены в науках, пользующихся дедук­тивными процедурами, и особенно в математических дисцип­линах.

Прямым называется такое доказательство, когда из приня­тых предпосылок по установленным правилам непосредственно следует тезис, требующий доказательства. Иначе говоря, в це­почке умозаключений, представляющей собой прямое доказа­тельство, последним звеном будет являться доказываемый те­зис..

Бывает, что прямое доказательство по какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают к косвенным доказательствам, именуемым иногда «доказательствами от противного» или «апагогическими», т. е. «отводящими».

Главной особенностью косвенного доказательства является то, что непосредственно доказывается не тезис, а его отрицание — анти­тезис, причем доказательство устанавливает ложность последне­го. Затем на основе закона исключенного третьего необходимо заключают об истинности тезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти всего доказательства остается как бы в стороне, привлекаясь только на заключительной стадии.

Общая логическая форма косвенного доказательства выгля­дит следующим образом.

Необходимо доказать утверждение А (тезис); допускаем, что имеет место (истинно) не-А (антите­зис); из не-А получаем в качестве следствия некоторое утверж­дение В; устанавливается, что В противоречит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, является ложным; от ложности следствия В заключаем к ложности его основания, т. е. к ложности утверждения не-А; на основании закона исклю­ченного третьего из ложности не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и являлось целью доказательства.

Если А, то В

Не-В

Следовательно, не-А

Из рассмотренного следует, что косвенное доказательство— это такой вид рассуждений, при котором доказывается лож­ность отрицания тезиса и на этом основании заключают об ис­тинности тезиса.

«Приведение к абсурду» (reductio ad absurdum).- вид доказательства, когда противоречие возникает между двумя следствиями антитезиса или когда из антитезиса выводится следствие, отрицающее антитезис, и др

Опровержение.

Опровергнуть какое-либо утверждение означает обосновать его ложность.

Тезис опровержения — это положение, которое требуется опровергнуть.

Аргументы — это утверждения, с помощью которых опровергается тезис (доказы­вается его ложность).

Форма опровержения — это способ логи­ческой связи аргументов и тезиса опровержения.

Опровержение тезиса:

1. Доказанием истинности антитезиса. Сначала находят некоторое утверж­дение, противоречащее тезису,— антитезис, затем доказывают его истинность. Если это удается, на основании закона проти­воречия при сопоставлении тезиса и антитезиса делаем вывод о ложности первого.

2. Установлением ложности следствий, вытекающих из тезиса.

Допуская истинность тезиса, выводят из него ряд следствий. Если хотя бы одно из полученных следствий находится в про­тиворечии с действительным положением вещей или с уже до­казанными утверждениями, то с необходимостью делают вывод о ложности тезиса. В данном случае заключают от ложности следствия к ложности основания.

Косвенное опровержение - когда опровергаются основания, на которых покоится его истина, или формы его доказательства — демонстрации. Они менее эффективны, чем прямое опровержение тезиса.

Условия и правила, обеспечивающие эффективность дока­зательства. Основные ошибки.

В доказательствах необхо­димо соблюдать правила и условия для каждого вида умоза­ключений, из которых они состоят, в отдельности.

1. Правила и условия, относящиеся к тезису.

1. Тезис должен быть точно и ясно сформулирован. Неточно сформулированные тезисы, расплывчатые, неопределенные понятия, неуточненный смысл утверждения — все это приводит к путанице и делает невозмож­ным доказательство.

2. Тезис на всем протяжении доказательства или опроверже­ния должен оставаться одним и тем же. Не должна происходить подмена тезиса (ignoratio elenchi), должен до­казывается или опровергается именно тот тезис, который необхо­димо.

2. Правила и условия, относящиеся к аргументам.

1. Аргументы во всяком доказательстве должны быть истин­ными утверждениями. Истинность тезиса с по­мощью ложных аргументов обосновать невозможно. Несоблюдение данного правила при­водит к ошибкам, имеющим названия:

1. «основное заблужде­ние» — когда в качестве истинного аргумента фигурирует лож­ное утверждение;

2. «кто много доказывает, тот ничего не дока­зывает» — когда из аргумента следует больше, чем требуется для доказательства, в том числе и ложное утверждение.

2. Истинность аргумента должна быть доказанной независимо от тезиса. Нарушение этого правила влечет за собой ошибку «круг в доказательстве». Она появляется в тех случаях, когда тезис обосновывается с помощью утверждений, равнозначных ему или доказанных с его помощью.

3. Аргументы должны быть достаточным основанием для дока­зательства тезиса. Нарушение этого правила приводит к тому, что при доказательстве пытаются установить логическую связь между различными по содержанию утверждениями. Разновидно­стями этой ошибки являются всевозможные апелляции при до­казательствах «к публике», «к личности» и т. д.

3. Правила и условия, относящиеся к демонстрации.

К ним относятся все правила и ошибки, связанные с их на­рушением, тех умозаключений, которые использованы при по­строении доказательств. Например, правила категорического силлогизма, правила условно-разделительного, условного и дру­гих силлогизмов.