Сложные суждения и таблицы истинности

Помимо простых логика изучает также сложные суждения.

Сложные суждения образуются из простых при помощи логических союзов. Существует значительное количество различных логических союзов, но основных - четыре: конъюнкция, дизъюнкции, импликация и эквивалентность.

В естественном языке перечисленные логические союзы выра­жаются при помощи союзов «и», «либо..., либо», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда».

Каждый из перечисленных союзов бинарен, т. е. соединяет между собой два суждения. При чем не только простые суждения, но и простые со сложными и сложные между собой.

В состав сложных конструкций могут входить по несколь­ку логических союзов, но каждый будет соединять только два суждения. В таких конструкциях различают связь между главными и.под­чиненными логическими союзами.

1. Соединительное (конъюнктивное) суждение - суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логи­ческого союза «и»: A& B.

Грамматически соединительное логическое суждение может выражаться следующими образами:

А и В.

А, но В

А, да В

Не только А, но и В

В, хотя и А

А. несмотря на А

А, а также В

Как А, так и В

А вместе с В

А, в то время как В

А, однако В

А, при этом В и т.д.

Истин­ность или ложность суждения «А и В» полностью определяется истинностью или ложностью составляющих его суждений А и В.

Возможны только следующие четыре комбинации: оба истинны; А истинно, но В ложно; А ложно, но В ис­тинно; оба ложны. Эту зависимость можно графически изобразить в виде следую­щей таблицы:

А	В	А и В
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	ложно
ложно	истинно	ложно
ложно	ложно	ложно

Грамматическим союзом «и», соединяют обычно суждения, имеющие между собой что-либо общее по смыслу. Логический же союз «и» может соединять любые суждения. Единственное требование для того, чтобы конъюнктивное суждение было истинным, заключает­ся в том, чтобы были истинными оба составляющих его суж­дения.

2. Разделительные (дизъюнктивные) суждения.

а) Строгой дизъюнкцией или исключающе-разделительным называется суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «либо..., либо»: A ¥ B. (или чаще – символ перечеркнутой двусторонней стрелки)

А либо В, но не оба

Либо А, либо В

То ли А, то ли В

Исключающе-разде­лительное суждение истинно, когда одно из его составляющих истинно, а другое ложно, и ложно, когда оба составляющих истинны и когда оба они ложны.

А	В	Либо А, либо В
истинно	истинно	ложно
истинно	ложно	истинно
ложно	истинно	истинно
ложно	ложно	ложно

б) Нестрогой дизъюнкцией, альтернативным Неисключающе-разделительные суждения. Неисключающе-разделительным называется суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «или»: А v B.

А или В или оба

А или В

А, если не В

А и\или В

Союзу «или» не придается исключающего смысла. Суждения, соединяемые «или», вполне совместимы. Разделительное суждение ложно тогда, когда ложны оба состав­ляющих его суждения, и истинно во всех остальных случаях. Эту зависимость изобразим в виде таблицы:

А	в	А или В
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	истинно
ложно	нстиино	истинно
ложно	ложно	ложно

В этом случае тоже справедливо то, что сказано выше от­носительно двух предыдущих логических союзов: А и В могут быть любыми суждениями, не обязательно связанными по смыслу.

3. Условным (импликативные) суждением назы­вается суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «если..., то»: А→В

В условном суж­дении «Если А, то В» составляющая А называется основанием, или антецедентом, а составляющая В — следствием, или консеквентом.

Если А, то В

А, потому что В

А, так как В

Коль скоро А, то В

В случае А имеет место В

В, если А

А влечет В

А является причиной В

А, только если В

В является следствием А

Для В достаточно А

Для А необходимо В

Логический союз «если..., то», как и все вышеописанные логические союзы, может соединять любые суждения и не требует содержательной связи между ними.

Условное суждение ложно тогда, когда его основание истинно, а следст­вие ложно, и истинно во всех остальных случаях.

А	В	Если А, то В
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	ложно
ложно	истинно	истинно
ложно	ложно	истинно

4. Суждением эквивалентности называется такое суждение, которое получено из любых двух других суждений при помощи логического союза «тогда и толь­ко тогда, когда...»: А↔В.

Суждение эквивалентности истинно, когда оба составляющих его сужде­ния истинны или когда оба они ложны, и ложно в прочих слу­чаях.

А	В	А тогда и только тогда, когда В
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	ложно
ложно	истинно	ложно _
ложно	ложно	истинно

Таким образом, можно составить общую таблицу истинности для логических союзов: