II-2.4. Прикладные задачи. Примеры управляемых процессов

II-2.4.1. Задача распределительных капиталовложений

При составлении пятилетнего плана любое отраслевое министерство рассматривает значительное число независимых вариантов капиталовложений (в предприятия отрасли) в различные виды основных фондов. Известно, что для осуществления -ого варианта требуется выделить рублей.

Общий объём капиталовложений cтрого лимитирован. Ожидаемый доход от капиталовложений по -му варианту составляет рублей. Кроме того, известно, что общее число проектов, которые могут быть реализованы в течение пятилетки, не должно превышать . Каждый вариант капиталовложений по-своему уникален, и нужно решить, принимать его на данную пятилетку или отвергнуть. Требуется определить такую стратегию капиталовложений на пятилетку, т.е. отобрать определенное число вариантов капиталовложений, не превышающее , которая позволяет не перерасходовать данный объем капиталовложений и получить максимальный доход от вложенных средств.

Все перечисленные условия можно формализовать в виде следующией модели:

Найти вектор , доставляющий максимальное значение целевой функции

и удовлетворяющий условиям

(ограничение на общее число проектов),

(ограничение на объем капиталовложений),

Рассмотрим операцию выбора проектов капиталовложений из – предложенных проектов как -шаговый процесс, понимая под шагом рассмотрение одного проекта с номером ,

Состояние системы в начале k -ого шага, состоящего в рассмотрении -ого проекта, будем характеризовать двумя фазовыми параметрами: – количество капиталовложений, оставшееся нераспределённым к началу k -ого шага, – количество проектов, которое ещё можно принять, т.е.

,

Под управляющим решением , принимаемым в состоянии , будем понимать решение о варианте с номером k. Будем считать, что , если вариант принят, , если вариант отвергнут. Таким образом, шаговое управление заключается в выборе единственной переменной y_k, принимающей на каждом шаге только два значения

,

При принятии решения относительно -ого проекта затраты составят рублей (либо при , либо 0 ), т.е. к началу -го шага (к моменту рассмотрения -го проекта) останется нераспределенным рублей капиталовложений, а количество проектов, которое можно ещё принять, уменьшится на величину , т.е. станет равным

Таким образом, состояние системы определяется на основании следующего уравнения состояния:

Фазовые ограничения, очевидно, имеют следующий вид:

,

— целые,

При принятии на k -ом шаге решения y_k шаговый доход составит, очевидно,

рублей =

Доход от всей операции в целом есть

.

Таким образом, задача оптимизации N -шагового процесса выбора проектов капиталовложений имеет вид

II-2.4.2. Задача о животноводческом комплексе

Животноводческий комплекс имеет стадо скота. Ежегодно часть скота отправляется на мясозаготовки, остальная часть остается на ферме для воспроизводства. Минимальные ежегодные мясопоставки составляют (плановое задание). Доход от продажи скота мясозаготовительным организациям выражается функцией , где y – количество проданного скота, функция может, например, иметь вид, показанный на рис. 11 (поставки мяса сверх планового задания c_k оплачиваются по более высоким ценам).

– плановое задание

Рис. 11 Пример зависимости дохода от продажи скота

Количество скота, оставленное для воспроизводства, в следующем году (до начала заготовок) увеличивается в раз . Требуется определить, какое количество скота необходимо продавать каждый год в течение планового периода, чтобы в конце планового периода получить максимальный доход, если известно начальное количество скота на комплексе, равное , и длина планового периода – лет.

Рассмотрим задачу определения ежегодных мясозаготовок как – шаговый управляемый процесс. Обозначим через начальное количество скота на комплексе, а через – количество скота, имеющееся на комплексе к началу -го года (оставлено для воспроизводства в -м году), т.е. будем описывать состояние системы (комплекса) одномерным вектором , .

Под управляющим решением , принимаемым в состояни, будем понимать решение о продаже единиц скота в -м году (в конце -го года), .

Количество скота , имеющееся в начале k -го года, в течение k -го года увеличивается в раз, т.е. в конце k -го года на комплексе будет единиц скота. Из этого количества скота будет продано, т.е. к началу -го года на комплексе останется · единиц скота, которое и определяет состояние системы (комплекса) в начале следующего года.

Итак, можно записать следующее уравнение состояния:

, , .

По смыслу задачи накладываются фазовые ограничения , и ограничения на управляющее решение y_k, учитывающие обязательные мясопоставки и имеющееся количество скота к моменту продажи:

,

Доход, получаемый комплексом от продажи единиц скота в конце k -го года, составляет , доход комплекса за N лет составляет

Таким образом, задача определения оптимальных ежегодных мясозаготовок

имеет следующий вид:

,

В поставленной задаче количество скота, оставляемое к началу следующего года, никак не регламентируется, поэтому имеется единственное фазовое ограничение

Если имеется плановое задание на разведение скота в начале каждого года, то фазовое ограничение будет иметь вид , где – плановое задание, что повлечет за собой и изменение в ограничениях на управляющее решение о продаже y_k единиц скота. Так как

,

Постановку рассматриваемой задачи можно обобщить [5], если учесть, что затраты на уход и прокорм голов скота в течение k -го года равны . В этом случае доход, получаемый комплексом в k -ом году, будет равен g (, а доход за N лет составит

В этом случае задача определения оптимальных мясозаготовок

в течение N лет будет иметь вид

,

II-2.4.3. Транспортная задача (о перевозках сырья (товаров) от поставщиков (складов) к потребителям (заводам))

Пусть число складов равно 3, а число заводов . Предположим, что имеется только один вид сырья и запас сырья равен спросу, т.е.

, где

.

Стоимость перевозки y единиц с -ого склада на -й завод выражается функцией (рис. 12). Требуется с минимальными расходами перевезти сырьё со складов на заводы.

Рис. 12 Стоимость перевозки y единиц сырья с -ого склада на -й завод

Рассмотрим данную операцию перевозки грузов от трёх поставщиков к потребителям как -шаговый управляемый процесс, понимая по шагом перевозку груза от трех складов на один завод (полное удовлетворение его потребностей).

Обозначим через количество груза (сырья), которое осталось не вывезенным на i -м складе к началу -го шага ( -й шаг – перевозка груза -му заводу),

Таким образом, состояние системы (склады-заводы) будет описывать трехмерный вектор

Так как запас сырья равен спросу, после вывоза сырья на все заводов склады останутся пустыми, т.е. .

Обозначим через количество груза (сырья), которое перевозится из -го склада на -й завод, и будем понимать под управляющим решением (шаговым управлением), принимаемым в состоянии трёхмерный вектор

Так как потребность в сырье -го завода составляет ,

откуда

Таким образом, можно считать, что управляющее решение на k -м шаге состоит в выборе двух управляющих переменных , т.е. шаговое управление есть двумерный вектор . Очевидно, что после принятия на k -м шаге решения на складах остается к началу (k +1)-го шага соответственно

,

т.е. уравнение состояния имеет вид , , ,

Записывая уравнение состояния по шагам, получим:

;

;

…

;

Таким образом, третья фазовая координата зависит от первых двух, т.е. можно считать, что состояние системы на k -ом шаге описывается двумерным вектором

На фазовые переменные накладываются ограничения

,

, , ,

на управляющие переменные

Стоимость всех перевозок по допустимому плану будет равна

Таким образом, задача заключается в определении допустимого управления ( (плана перевозок), которое переводит систему из начального состояния в конечное и при котором целевая функция принимает минимальное значение, т.е.

, , ,

,