Свойство 10 означает, что каждое действительное число принадлежит по крайней мере, одному из множеств и

Из свойства 3⁰ следует, что множества и не пересекаются: .

Сечение множества действительных чисел, образованное множествами и обозначается через .

Множество называется нижним классом, а множество – верхним классом данного сечения.

Пусть . Простые примеры сечения в множестве действительных чисел можно получить следующим образом. Зафиксируем какое-либо число , то множества

и , (1)

а также

и (2)

образуют сечения множества .

В обоих этих случаях говорят, что сечение производится числом и пишут .

Отметим свойства сечений, производящихся некоторым числом.

1. В случае (1) в классе есть наибольшее число , а в классе нет наименьшего числа. В случае (2) в классе нет наибольшего числа, а в классе есть наименьшее число, им является число .

Доказательство. Рассмотрим, например, случай (1). То, что является наибольшим числом в классе , следует из первой формулы (1), задающей множество .

Покажем, что во множестве нет наименьшего числа. Допустим противное: пусть в есть наименьшее число . Из условия, что , следует, что . Следовательно, , т.е. . Отсюда, в силу определения множества , получаем, что . Аналогично из , следует , т.е. , а так как – наименьшее число в классе , то . Полученное противоречие доказывает утверждение.

2. Число, производящее сечение, единственно.

Доказательство. Допустим противное, что существует сечение, которое определяется двумя разными числами: и . Пусть, для определенности . Тогда как было показано при доказательстве предыдущего свойства . Из неравенства следует, что в случае (1) . Аналогично из неравенства следует, что . Это противоречит тому, что .

3. Для каждого сечения множества действительных чисел существует число , производящее это сечение: .

Это число, согласно доказанному выше, является либо наибольшим в нижнем классе, тогда в верхнем классе нет наименьшего, либо наименьшим в верхнем классе, тогда в нижнем классе нет наибольшего.

Это свойство непрерывности действительных чисел часто называют принципом непрерывности действительных чисел по Дедекинду.