Декартово произведение множеств

Определение. Декартовым произведением множеств и называется множество упорядоченных пар , где , :

.

Примеры.

1. Если , , то

,

.

2. , , то .

На координатной плоскости произведение изобразится заштрихованным прямоугольником, показанным на рис. 1а.

1 1

0 1 3 0 1 2 3

а) б)

Рис. 1

3. , , .

В этом случае декартово произведение представляет собой множество точек отрезка (рис. 1б)).

По аналогии можно определить произведение нескольких множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств называется множество

.

Произведение обозначается - декартово произведение одинaковых сомножителей.

Например, если , то

представляет собой плоскость;

– трехмерное пространство;

– -мерное пространство, элементами которого являются упорядоченные наборы из действительных чисел.

Сечения упорядоченных множеств

Определение. Множество называется упорядоченным множеством, если для любых двух его элементов и определено одно из трех отношений , , , причем, если и , то .

Всякое подмножество упорядоченного множества упорядочено.

Примером упорядоченных множеств является множество действительных чисел.

Определение. Два множества и называются сечением множества действительных чисел , если:

1⁰. Объединение множеств и составляет все множество действительных чисел , ;

2⁰. Каждое из множеств и не пусто, , .

3⁰. Каждое число множества : если , , то .