В залежності від типів вимірів існує ряд методів визначення абсолютних і відносних похибок

Визначення похибок під час прямих однократних вимірів:

1) за абсолютну похибку приймають значення, яке дорівнює половині поділки шкали (наприклад, для звичайної лінійки Δ x ≈0,5мм).

2) Якщо похибки мають відоме походження, то їх характеризують класом точності приладу.

Важливою характеристикою точності приладів є приведена похибка - Е _пр.:

,

Δα - абсолютна похибка;

α_max - граничне максимальне значення на шкалі приладу.

Клас точності приладів: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4.

Наприклад, нехай для міліамперметра: клас точності Е_пр. =0,5; α_max=150,0мА; вимір дав результат I=50,0мА. Абсолютну похибку Δα знаходимо з попереднього рівняння:

Кінцевий запис: I=(50,0±0,75)мА.

Визначення похибки експериментальних результатів із зазначеною довірчою ймовірністю під час багатократних прямих вимірів (Метод Ст’юдента).

Довірливим інтервалом називається такий інтервал (x_іст -Δ x, x_іст +Δ x), в який попадає істинне значення вимірюваної величини x_іст із заданою ймовірністю.

Ймовірність того, що істинне значення вимірюваної величини знаходиться в середині цього інтервалу (x_іст -Δ x, x_іст +Δ x), називається довірчою ймовірністю або надійністю Р.

Для нескінченно великої кількості вимірів (n →∞) розглядаються такі величини:

генеральна середня квадратична похибка окремого виміру (СТАНДАРТ) – σ:

,

середня квадратична похибка середньоарифметичного ряду вибірок - σ₀:

,

де x_іст - істинне значення вимірюваної величини.

У реальних умовах для обмеженої кількості вимірів (n ≤30) розглядаються такі величини:

середня квадратична похибка окремого виміру:

,

середня квадратична похибка середньоарифметичного:

,

де - середнє значення вимірюваної величини.

Англійський математик В.С. Госсет (псевдонім Ст’юдент) на підставі теорії ймовірності запропонував визначити довірливий інтервал (абсолютну похибку) Δ x за формулою:

де S_na - середня квадратична похибка середньоарифметичного; t – коефіцієнт Ст’юдента, який знаходиться із таблиці для заданої довірчої ймовірності (надійності) Р і числа вимірів n.

Порядок операцій визначення похибок методом Стюдента

1) Всі виміри записують в таблицю.

2) Підраховують середнє значення :

3) Знаходять абсолютні похибки кожного виміру:

4) Визначають середньоквадратична похибку середньоарифметичного:

5) Задають значення надійності Р (довірливої ймовірності), наприклад, Р =0,7.

6) За таблицею, яка додається, знаходиться коефіцієнт Ст’юдента t за відомими P і n (число вимірів).

7) Знаходять довірливий інтервал Δ x, тобто абсолютну похибку Δ x

8) Визначають відносну похибку результату вимірів:

9) Кінцевий результат записують у вигляді:

Визначення похибок під час непрямих (побічних) вимірів фізичної величини методом диференціювання

Відомо, що під час побічних вимірів шукана величина знаходиться за результатами прямих вимірів інших фізичних величин, які зв’язані із шуканою величиною функціональною залежністю (формулою).

В цьому випадку необхідно визначити абсолютні похибки всіх вимірюваних величин. З метою виведення формули для розрахунку похибки користуються правилами диференціювання.

1) Нехай фізична величина a залежить від однієї змінної: a=f (x). Тоді da=f′ (x) dx. Замінюючи диференціали на кінцеві різниці, отримаємо правило для знаходження похибок:

.

2) Фізична величина залежить від декількох перемінних: a=f (x,y,z,…).

Тоді

Виконуючи заміну диференціалів (нескінченно малі прирости аргументів) на кінцеві різниці, одержимо:

В останньому рівнянні всі доданки беруться позитивними.

Розглянемо ряд прикладів

1) ; .

2) ; .

3) ;

.

4) ; .

5) ; .

6) ;

.

7) ; .

8) ; .

9) ; .

10) ; .

Приклад визначення похибок під час непрямих (побічних) вимірів фізичної величини методом диференціювання.

У одній з лабораторних робіт з механіки коефіцієнт в’язкості η визначається за формулою:

, (1)

де - густини падаючої кульки і рідини, d – діаметр кульки, τ - час падіння кульки, l - пройдений шлях кульки, g - прискорення вільного падіння (стала, відома з досить великою точністю).

Позначимо чисельник через х, а знаменник – через у:

, (2)

де (добуток трьох множників),

, .

Згідно попередніх формул для (2) отримуємо:

(3)

Аналогічно запишемо ():

;(4)

(5)

Після підстановки (4) і (5) в (3) маємо:

(6)

Підрахувавши за формулою (6) відносну похибку, можна знайти абсолютну похибку :

Кінцевий результат записуємо у вигляді:

Визначення похибок під час непрямих (побічних) вимірів фізичної величини методом логарифмування.

Спочатку вираз логарифмується, а потім диференціюється, використовуючи табличне співвідношення

.

Наприклад, густина речовини товстостінної труби дорівнює:

,

де R і r – зовнішній і внутрішній радіуси відповідно, h - висота труби.

Логарифмуємо попередній вираз:

.

Після диференціювання маємо:

.

Замінюючи диференціали кінцевими різницями і знак "-" на "+" (з метою визначення максимальної похибки), останнє рівняння перепишеться:

.

Величини Δ m, Δ R, Δ h та m, R, h - відомі, чому після підрахування відносної похибки Е можна знайти абсолютну похибку:

.

Кінцевий результат записуємо у вигляді:

.