Дополнительная 1 страница

5.Ицкович Г.М. Сопротивление материалов, - М.: Высшая школа, 1987.

6.Ицкович Г.М., Винокуров А.И., Минин Л.С. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. - М.: Высшая школа, 1970.

7.Метод сечений. Построение эпюр внутренних силовых факторов.-Челябинск: ЮУрГУ, I998.

8.Кононов К.М. и Махалова Н.А. Энергетический метод определения перемещений. – Челябинск: ЧПИ, 1977.

9.Пособие к решению задач по сопротивлению материалов / С.А. Енгалычев, Ф.З. Алмаметов, Н.А. Курицын и др. - М.: Высшая шкода, 1985.

УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении контрольных работ студент обязан учитывать следующие требования;

1. Прежде чем приступить к выполнению задач из контрольных заданий, необходимо изучить соответствующие разделы курса и проработать предложенные на практических занятиях задачи.

2. Исходные данные к задачам, включенным в контрольные работы,
выбираются студентом, согласно индивидуальному варианту. Вариант определяется четырехзначным числом, первая цифра которого совпадает с последней цифрой номера группы, а последующие три цифры соответствуют трем последним цифрам личного номера (шифра) студента (год поступления и первая цифра - в случае четырехзначного порядкового номера - не учитываются).

Например, вариантом студента группы ТМИ-318, имеющего личный шифр 05-201 (здесь 05 — год поступления студента в университет), является число 8201.

Теперь могут быть полученные данные по всем задачам варианта 9201. Например, для задачи 1 студент, имеющий этот вариант, должен взять из табл.1 (в соответствии с рас.1) следующие данные, которые удобно записывать в виде таблицы:

F1/ql	l1/l	F2/ql	l2/l	F3/ql	q1/q	№ сх.	q2/q
-2.5	2.0	2.0	2.0	2.0

Знак минус показывает, что направление силы следует поменять на противоположный указанному на рисунке.

Аналогично выбираются данные для каждой задачи. Работы, выполненные с нарушением этого тре­бования, не засчитываются.

3. В заголовке контрольной работы должны быть четко написаны номер работы, название дисциплины, фамилия, имя и отчество студента (полностью), индекс специальности, номер группы, учебный шифр, дата отсылки работы, точный почтовый адрес.

4. Каждую контрольную работу следует выполнять в особой тетради
или на листах стандартного формата (210x300)мм или (203х288)мм, сшитых в альбом, чернилами (не красными), четким почерком, с полями в 50 мм для замечаний рецензента.

5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие с исходными данными. По этим данным составить аккуратный эскиз, определяющий условие задачи в соответствии с вариантом (при вычерчивании эскизов необходимо соблюдать масштабные соотношения) и указать на нем все величины конкретного варианта, необходимые для расчета.

6. Решение должно сопровождаться краткими, последовательными и грамотными, без сокращения слов, объяснениями и четкими эскизами, на которых все входящие в расчет величины должны быть показаны. Надо избегать многослойных пояснений и пересказа учебника.

7. Необходимо указывать размерности всех величин. Задачи решаются в международной системе единиц (СИ). Рекомендуется подчеркивать (выделять) окончательные результаты.

8. Во всех расчетах на прочность, жесткость и устойчивость допускается, как правота, отклонение от нормативных данных (нормированный запас прочности, допускаемое напряжение) в пределах 5 %. Такую же точность имеют исходные данные для расчета. Поэтому не следует вычислять большое число значащих цифр; вычисления должны соответствовать необходимой и возможной (с точки зрения задания исходных величин) точности.

9. Получив проверенную работу, студент должен внимательно просмотреть указания рецензента и внести соответствующие исправления. Если работа не зачтена, решение всей задачи или указанной рецензентом ее части приводится в конце работы. Все страницы работы должны быть пронумерованы, а около исправлений следует указывать, к каким страницам первичного текста они относятся. Исправления отдельно от работы не рассматривается. В работе, проверенной рецензентом, не следует что-либо зачеркивать или стирать.

10. Не рекомендуется присылать в университет сразу несколько выполненных заданий в конце семестра, так как рецензент не сможет указать
студенту своевременно на возможные сшибки.

Устные консультации по контрольным работам проводятся в соответствии с расписанием. Студент может получить и письменную консультацию, если он четко укажет, что именно ему неясно при решении той или иной, задачи.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

(1 - 19)

Задача 1.

1. Изобразить расчетную схему стержня и приложить заданное силы (сосредоточенные силы F₁, F₂; и F₃ представляются в долях ql), где

q - интенсивность продольной нагрузки,

l - параметр домны.

2. Стержень разбить на участки соответственно точкам приложения распределенных и сосредоточенных сил.

3. С помощью метода сечений, записывая для отсеченных частей стержня уравнения равновесия сил, определить в начале и в конце каждого участка продольные нормальные силы.

При определении продольной силы в сечении нет необходимости каждый раз графически изображать оставшуюся часть стержня. Необходимо мысленно провести сечение, направить вектор нормальной силы в сторону внешней нормали, то есть от сечения и записать выражение для N= ∑Z

где Z — проекции на ось стержня внешних сил, действующих на рассматриваемую отсеченную часть стержня. Проекции внешних сил при этом записываются в правой части выражения для N со знаком плюс, если они направлены от рассматриваемого сечения, и минус, если они направлены к рассматриваемому сечению.

4. Найденные величины продольных сил (а долях ql) отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стержня: положительные, вызывающие растяжение,

— вверх, отрицательные, соответствующие сжатию,— вниз.

5. В соответствии с дифференциальной зависимостью dN/dz=-q_z концы ординат соединить линиями; проставить знаки и заштриховать эпюру параллельно ординатам.

6. Используя граничные условия (наличие "скачка" на ЭN в точках приложения внешних сосредоточенных сил, равного величине проекции силы на ось стержня и диференциально-интегральные зависимости dN/dz =- q_z и

, проверить правильность построения эпюры продольных сил.

Задача 2

Выполняется аналогично задаче 1. Вместо уравнения равновесия сил записывается для отсеченной части уравнение моментов (МК = -∑МZ).

При построении эпюры крутящих моментов И для Ее проверки используются дифференциально-интегральные зависимости dМК /dz = -mz,

.

Задачи 3, 4 и 5

Пункты 1, 2 - аналогичны соответствующими пунктам задачи 1. Для задач 3 и 5 определение опорных реакций является обязательным.

Опорные реакции в балке удобно определять из уравнений равновесия моментов ∑МА,В =0, где А и В - опорные точки. Для проверки правильности вычисления опорных реакций записывается уравнение равновесия сил ∑Y=0, которое должно удовлетворяться тождественно.

3. С помощью метода сечений, записывая для отсеченных частей балки
уравнения равновесия сил, определить в начале и в конце каждого участка
поперечные силы Q.

Для вычисления поперечной силы в сечении необходимо мысленно провести сечение и для одной из отсеченных частей записать выражение для силы Q=-∑Y*, где Y* проекции на ось Y (перпендикуляр к оси стержня z) внешних сил, действующих на рассматриваемою отсеченную часть. В соответствии с правилом знаков для поперечных сил проекции внешних сил записываются в правой части выражения для силы Q со знаком плюс, если они стремятся повернуть отсеченную часть по ходу часовой стрелки, и минус, если они направлены в обратную сторону - стремятся повернуть отсеченную часть против хода стрелки часов.

4. Найденные величины поперечных сил отложить в масштабе в виде
ординат, перпендикулярных оси стержня положительные - вверх, отрицательные - вниз и в соответствий с дифференциальной зависимостью dQ/dz=q концы ординат соединить линиями; проставить знаки и заштриховать эпюру сил Q параллельно ординатам.

5. Используя дифференциально-интегральные зависимости dQ/dz = q и и граничные условия - наличие на ЭQ "скачка" а сечении балки под сосредоточенной силой, проверить правильность построения эпюры поперечных сил.

Величина "скачка" должна быть равна соответствующей силе, направление - совпадать по направлению силы, если рассматривается левая отсеченная часть балки (при обходе балки слева направо); при обходе балки справа налево направление "скачка" - против направления силы.

6. Если на какой-либо участке балки ЭQпересекает ось стержня (на участке с q) определить абсциссы соответствующих сечений из условия подобия треугольников с ЭQ.

7. С помощью метода сечений, записывая для отсеченных частей балки уравнения равновесия моментов сил, определить в начале и в конце каждого участка изгибающие моменты М.

Изгибающий момент в сечении определяется из выражения М =∑Мс*, где Мс* - моменты внешних сил относительно точки С, соответствующей проведенному сечению балки действующих на рассматриваемую отсеченную часть (левую или правую). Знак изгибающего момента определяется в соответствии с правилом сжатого волокна, то есть в правой части выражения для момента М, момент внешней силы Мс* записывается со знаком плюс, если он стремится повернуть отсеченную часть балки вверх (сжатые волокна сверху), и со знаком минус, если отсеченная часть балки под действием момента Мс* стремится повернуться вниз (сжатые волокна внизу).

8. Вычислить экстремальные значения изгибающих моментов (Ммах, Ммin) - моментов для сечении с Q(z)=0 (абсциссы этих сечений найдены в п.6). Для вычисления изгибающего момента в сечении с абсциссой z (на
расстоянии z от начала участка) удобно пользоваться интегральной зависимостью , где М(0) - изгибающий момент в начале участка (при z=0): - изменение изгибающего момента на длине z, равное площади ЭQ, соответствующей длины.

9. Найденные величины изгибающих моментов отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стержня, со стороны сжатых волокон и в соответствии с дифференциальной зависимостью и dM/dz = Q концы ординат соединить линиями. Заштриховать эпюру изгибающих моментов параллельно ординатам: знак на ЭМ не ставится.

10. Используя дифференциально-интегральные зависимости dM/dz=Q,

и граничные условия - наличие на ЭМ "скачка" в сечении балки, соответствующем точке приложения сосредоточенной пары сил, проверить правильность построений эпюры изгибающего момента. Величина "скачка" должна быть равна моменту сосредоточенной пары сил, а направление - совпадать с направлением момента пары.

Задачи 6, 7

Последовательность решения аналогична задачам 1-5. В плоской раме внутренними силовыми факторами являются продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент М. Внутренние силовые факторы для характерных точек (точек, соответствующих сечениям в начале и в конце каждого участка) вычисляется, используя метод сечений, из выражения: N=-∑Z*. Q=-∑Y*.

М=-∑Мс*. Здесь Z* и Y* проекции внешних сил, действующих на отсеченную часть рамы, соответственно ни оси z - (ось участка) и у - перпендикуляр к оси Z; Мс* - момент указанных сил относительно точки С, соответствующей проведенному сечению.

Знак сил N и Q устанавливаются так же как и в задачах 1, 3-5. На ЭN и ЭQ, ординаты которых, откладываются перпендикулярно оси соответствующего участка рамы, указывается знак внутреннего силового фактора. При построении ЭМ пользуется "правило сжатого волокна"; знак изгибающего момента на ЭМ не проставляется. Эпюры внутренних силовых факторов штрихуются линиями, перпендикулярными к оси соответствующего участка (параллельно соответствующим ординатам).

Для контроля правильности построения эпюр внутренних силовых факторов в плоской раме проверяются выполнение рассмотренных ранее дифференциальных зависимостей и равновесие узлов рамы. На ЭМ должно выполниться "правило циркуля" — если в ненагруженном узле сходятся только два стержня под любым углом), ординаты ЭМ на стержнях этого узла должны быть равны и отложены либо обе во внутрь, либо обе наружу.

Задача 8

В плоско-пространственно и раме внутренними силовыми факторами являются поперечная сила QY изгибающий МХ и крутящий Т моменты, действующие в плоскостях, перпендикулярных к плоскости рамы (силовые факторы N, Qx и Mх, расположенные в плоскости рамы заведомо равны нулю).

Записывая для любой отсеченной части уравнения равновесия сил и моментов (∑=Y, ∑=Mх, и ∑=Mz, где Y —ось, перпендикулярная к рамы, х— ось, перпендикулярная к оси соответствующего участка z и лежащая в плоскости рамы), вычисляются внутренние силовые факторы для характерных сечений (в начале и в конце каждого участка). При составлении уравнений равновесия рекомендуется изобразить в изометрической проекции соответствующую отсеченную часть рамы.

Эпюры внутренних силовых факторов изображаются в изометрических проекциях. При построении эпюр удобно применять скользящую систему осей координат, обычно правовинтовую; ось z — всегда направлять по оси стержня а сторону свободного конца, оси х и у - перпендикулярно оси z. Знак крутящего момента Т и поперечной силы QY определяется так же, как в задачах 2 и 3...5, и указывается на соответствующих эпюрах; эпюра изгибающего момента строится на сжатом волокне без простановки знака.

Для плоско-пространственной рамы с прямыми участками выполняются рассмотренные ранее дифференциально-интегральные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки и внутренними силовыми факторами.

Задача 9

1. Изобразить расчетную схему стержня, приложить заданные силы, выраженные в долях параметра нагрузки Р и разбить стержень на участки (границами участков являются точки приложения внешних сил и места изменения площади поперечного сечения).

2. Построить эпюру продольных сил (ЭN).

3. В соответствий с ЭN построить (в долях P/S) эпюру нормальных напряжений в поперечных сечениях стержни (Э ); на Э проставляется знак напряжений, совпадающий со знаком силы N.

4. Начиная от сечения, соответствующего заделке, перемещение которого известно (равно нулю), последовательно вычислить перемещения характерных сечений - в начале и в конце каждого участка: . Здесь W(z) — перемещение сечений с абсциссой z, отсчитываемой от начала соответствующего участка; W(0) - перемещение в начале участка; -удлинение илиукорочение длины z, равное площади эпюры нормальных напряжений на длине z, деленное на модуль нормальной упругости материала Е. В соответствии с условием неразрывности деформаций перемещения смежных сечений на границе участков одинаковы.

5. Найденные величины перемещений (в долях PI/ES) отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стержня z. Эпюра перемещений (ЭW) не имеет скачков; штриховка осуществляется линиями, перпендикулярными оси стержня (параллельно ординатам эпюры).

6. По Э найти наибольшие (по модулю) напряжения max и их условия прочности mаx ≤ [ ] найти параметр нагрузки Р. Полученное число (в кН) округлить до ближайшего кратного двум или пяти целого числа (допускается перенапряжение до 5%).

7. По ЭW найти удлинение или укорочение отрезка а , где W(a) и W(0) – перемещения в конце и в начале участка длиной а, соответственно и наибольшее (по модулю) перемещение max W. Вычислить (в мм) и max W при принятом параметре нагрузки Р.

Задача 10

1. Изобразить расчетную схему стержневой системы и определить методом сечений нормальные силы в стержнях (в долях Р). Двойными линиями на расчетных схемах обозначены стержни большой жесткости, расчет которых в данной задаче не требуется.

2. Из расчета на прочность определить площади поперечных сечений рассчитываемых стержней.

3. Считая, что стержни должны быть изготовлены из равнобокого уголка подобрать по ГОСТ 8509-72 для каждого стержня соответствующий номер профиля.

Задача 11

1. Изобразить расчетную схему статически неопределимой системы, пронумеровать элементы системы (деформируемые стержни) и выразить их длины через параметр l.

2. Изобразить систему в деформированном виде и из геометрических

соотношений записать условие совместности перемещений. Обозначив через

Δl изменение длин элементов системы, представить условие совместности перемещений в удлинениях (условие совместности деформаций).

3. Используя закон Гука (Δl=Nl/ES) и заданные соотношения длин и
площадей поперечных сечений элементов системы, из условия совместности
деформаций найти соотношение усилий в стержнях.

4. С помощью метода сечений в соответствии с картиной деформаций
(деформации элементов системы должны соответствовать направлению внутренних сил; при растяжении сила N направлена от сечения, при сжатии – к сечению) показать действующие на систему внешние и внутренние силы и записать условия равновесия сил.

5. Учитывая найденное в п.3 соотношение усилий, из уравнений равновесия вычислить (в долях силы F) внутренние силы в элементах системы и соответствующие напряжения в поперечных сечениях (в долях F/S).

6. Определить наиболее напряженный стержень и из условия прочности(mаx ≤ [ ], где [ ]= т/[k]) вычислить допустимое значение силы F (в кН).

7. Считая материал стержней системы идеально пластичным, представить предельное состояние системы - состояние, при котором возможно неограниченное (в связи с пластическим деформированием элементов системы) перемещение точкиприложения силы F (механизм пластического разрушения).

С помощью метода сечений в соответствия с механизмом пластического разрушения изобразить внешние и внутренние силы, действующие на систему в предельном состоянии (предельное значение нагрузки обозначить через Fo; предельное значение внутренних сил - Ni° = т Si, где Si - площадь поперечного сечения элемента i в долях параметра поперечных размеров S).

8. Записать условия предельного равновесия (уравнения равновесия для сил предельного состояния) и из них найти предельную нагрузку Fо (в долях т S).

9. Из условия прочности по предельному равновесию вычислить допустимую нагрузку ( в кН), которая должна быть больше допустимой нагрузки, найденной из расчета на прочность по наибольшим напряжения (см.п.6).

Задача 12

1. Изобразить расчетную схему балки, приложить заданные в долях параметра F нагрузки и разбить балку на участки. Из условий равновесия сил (ΣМА=0, ΣМВ=0, проверка ΣY=0, где А и В - опорные точка ) найти опорные реакции.

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Эпюры внутренних силовых факторовстроится в общем виде: ЭQ — в долях параметра F, ЭМ—а долях F1.

3. По ЭМ определить расчетное сечениебалки (сечение с наибольшим изгибающим моментом max М и из условия прочности max =maxМ/Wx≤[ ] определить требуемую величину осевого момента сопротивления W (в см³).

4. По таблице сортамента (Сталь горячекатаная: балки двутавровые. ГОСТ 8239-72; швеллеры с уклоном внутренних граней, ГОСТ 8240-72) в соответствие заданной условиями задачи формой сечения типа I из условия Wx > W подобрать требуемый номер профиля (допускается перенапряжение не более 5%). При принятом номере профиля вычислить для сечения типа I площадь поперечного сечения Si (в см²) и момент инерция относительно нейтральной оси J_x (в см⁴).

5. Приняв для сечения типа II отношение, равным отношению для сечения типа I,

определить осевой момент сопротивления прямоугольника как функцию высоты h: Wx=bh²/6=f(h³). Из равенства Wх=f(h³)=W найти высоту сечения типа II, а затем, учитывая отношение b/h, его ширину. Из условия равной прочности с сечением I определить диаметр круглого поперечного сечения.

Для принятых размеров вычислить для прямоугольного и круглого поперечных сечений их площади S₂ и S₃ (в см²) и J_x (в см⁴).

6. Вычертить сечения трех типов в одном масштабе и сравнить вес соответствующих балок (отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений).

7. По ЭQ найти maxQ (по модулю) и в соответствующем сечении по формуле Д. И. Журавского для трех типов сечений вычислить наибольшие касательные напряжения (для точек нейтральной оси).

Задача 13

1. Изобразить расчетную схему балки, приложить заданные в долях F нагрузки, построить эпюры внутренних силовых факторов и по эпюре изгибающего момента установить расчетный момент maxМ (в долях F3).

2. Выразить размеры сечения в долях параметра поперечных размеров t и изобразить сечение в масштабе.

3. Определить положение центра тяжести сечения и найти (в долях t) расстояния от нейтральной оси до крайних волокон.

4. Расположить сечение выгодным образом (при выгодной расположении в сечении балки с maxМ наиболее удаленные от нейтральной оси волокна должны быть сжаты, т.е. уmax=у_c, так как [ ]с ≠ [ ]р где [ ]с и [ ]р - допускаемые напряжения при растяжении и сжатии.

Для расчетного сечения установить наиболее опасную точку (если у_р/у_с >[ ]р / [ ]с опасными являются растягивающие волокна; при у_р/у_с < [ ]р / [ ]с сжимающие. Здесь у_р, у_с = уmax - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных волокон в зоне растяжения и в зоне сжатия, соответственно).

5. Для заданных сечений вычислить (в долях t⁴) осевые моменты инерции относительно собственных нейтральных осей, параллельных нейтральной, и (используя формулу параллельного переноса) осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральней оси (вначале а долях t⁴, затем подставляя числовое значение параметра t, в см⁴).

6. Из расчета на прочность ко наиболее опасной точке найти допустимый параметр нагрузки F (в кН) и округлить его значение до ближайшего кратного двум или пяти целого числа (перегрузка допускается не более 5%).

7. При принятом значении параметра нагрузки для выгодного расположения расчетного сечения вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения (в МПа) и построить эпюру напряжений в сечении.

Задача 14

1. Изобразить расчетную схему стержня, разбить стержень на участки и поперечные размеры каждого участка, выразить а долях параметра поперечных размеров (в качестве такого параметра удобно принять размер d).

2. Построить эпюру крутящих моментов ЭТ.

3. Вычислить геометрические факторы прочности Wk и жесткости Jk участков в долях параметра поперечных размеров d.

4. Вычислить на каждом участке наибольшие касательные напряжений τ max (в долях M/d³ ) и построить Эτ.

5. Из условия прочности maxτ ≤ [τ] для опасного участка стержня вычислить допустимые размеры поперечных сечений.

6. Вычислить на каждом участке относительные углы закручивания (крутки) Ө (в долях M/Gd⁴) к построить для стержня ЭӨ.

7. В соответствий с ЭӨ, учитывая равенство ( здесь φ(z) — угол поворота произвольного сечения; φ(0) — угол поворота сечения в начале участка), построить в относительных величинах (в долях Мl/Gd⁴} эпюру перемещений Эφ.

8. Из условия жесткости maxθ≤[0] определить числовое значение параметра поперечных размеров d (мм) в округлить полученное значение до кратного двум или пяти целого числа. При выполнении расчета на жесткость необходимо учесть, что на ЭӨ относительные углы закручивания, представленные в относительных величинах, имеют размерность рад,/м, а [ θ ] - задано в условии задачи в град/м.

9. Выбрать размеры поперечных сечений, удовлетворяющих условиям прочности и жесткости.

10. Вычислить (в град.) наибольший угол поворота поперечного сечения max φ.

Задача 15

1. Начертить в изометрии расчетную схему балки и построить эпюры изгибающих моментов (в долях Fl) для вертикальной и горизонтальной силовых плоскостей.

2. Изобразить в долях параметра t сечение балки, обозначить главные центральные оси х и у и вычислить соответствующие осевые моменты инерции сечения Jx и Jy (в долях t⁴) и моменты сопротивлении изгибу Wx и Wy (в долях t⁴).

3. Для двух сечений, соответствующих заделке и точке А, показать внутренние силовые факторы - изгибающие моменты Мх и Мy; для наиболее напряженных точек опасного сечения вычислить наибольшие напряжений σ max = Mx/Wx + My/Wy (в начале в долях Fl/t³, затем, подставляя значения параметров F, l и t, в МПа).

4. Подсчитать для балки коэффициент запаса прочности k=σ_т/σ_max.

5. Начертить сечение балки в масштабе и для сечения, соответст­вующего точке А, построить эпюры напряжений от каждого изгибающего момента М_х и М_у в отдельности.

6. Для угловых точек контура сечения А вычислить напряжения (в МПа) от совместного действия моментов.

7. Начертить сечение в масштабе и по величинам напряжений, полученных в п.6, построить суммарную эпюру напряжений по контуру сечения.

8. Для сечения А определить положение нейтральной линии и показать ее на чертеже (нейтральная линия должна пройти через центр тяжести и точки контура сечения, для которых σ =0).

Задача 16

1. Для балки определить степень статической неопределимости, выбрать и изобразить основную систему метода сил.

2. Образовать эквивалентную систему и записать условие эквивалентности — каноническое уравнение метода сил: .