Интеграл Фурье для четных и нечетных функций

Если f (x) – четная функция, то , (2.5)

и ее представление интегралом Фурье имеет вид: (2.6)

Или в виде двойного интеграла Фурье: f (x)= (2.7)

Если f (x) – нечетная функция, то , (2.8)

и ее представление интегралом Фурье имеет вид: (2.9)

Или в виде двойного интеграла Фурье:

f (x)= . (2.10)

Пример 9. Представить интегралом Фурье функцию f (x) = продолжив ее четным образом для отрицательных значений.

Решение:

Заданная четная функция, очевидно, удовлетворяет указанным выше условиям представления в виде интеграла Фурье, поэтому к ней можно применить формулу (2.7), в которой интегрировать f (t) надо только по отрезку [0,2], так как вне этого отрезка она равна нулю. По формуле (2.7) имеем:

f (x) = .

Вычислим отдельно внутренний интеграл (по частям):

Следовательно, f (x) = ;

в частности, при x = 0 получаем f (0) = 1 = , то есть .

Пример 10. Представить интегралом Фурье функцию f (x) =

Решение:

Рис. 8.

Данная функция является кусочно-гладкой, так как состоит из двух гладких частей и имеет разрыв первого рода в точке x = 0. (См. рис. 8) Проверим, что f (x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Для этого убедимся, что сходится интеграл:

= (1 – 0) – (0 – 1) = 2.

Следовательно, функцию можно представить интегралом Фурье, а поскольку она является нечетной, то можно воспользоваться формулой (2.10):

f (t) = .

Интегрированием по частям найдем внутренний интеграл

.

Вторично интегрируя по частям, получим:

откуда

Таким образом, представление интегралом Фурье функции имеет вид: