Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ

Пусть функция f (x) задана и дифференцируема на отрезке [– l; l ]. Положим φ (z) = .

Тогда φ (z) будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке [–π; π].Значит к φ (z) применима теория, изложенная выше, поэтому при – π < z < π будет

φ (x) = + .

Положим в этом равенстве . Тогда для – l < x < l, то есть для функций с любым периодом 2 ℓ разложение в ряд Фурье, когда оно возможно, и формулы для коэффициентов Фурье таковы:

f (x) = + cos + sin ), (1.25)

где а ₀ = (x) dx; а_n = x) cos dx; b_n = x) sin dx (1.26)

Если f (x) – четная, то , (1.27)

где а ₀ = (x) dx; а _n= (x) cos dx. (1.28)

Если f (x) – нечетная, то , (1.29)

где b_n = (x) sin dx. (1.30)

Замечание. Можно от периода 2 перейти к периоду 2p, произведя замену переменной по формуле х = или х ^/ = p (x– l) и затем вычислять коэффициенты Фурье для 2p - периодических функций.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x, заданную на интервале –2 £ х £ 2.

Решение:

Рис. 6

График функции f (x) = x изображен на рисунке 6. Видно, что функция нечетная с периодом 2 ℓ = 4, то есть ℓ = 2. Найдем коэффициенты Фурье по формуле 1.30.

b_n = dx = = – х cos dx =

= – cos np + = – cos np + sin np = – cos np =

=

Следовательно, по 1.29 разложение в ряд Фурье функции f (x) имеет вид:

f (x) = x = – + –... = – .

Пример 6. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) =

Решение:

Воспользуемся замечанием. Произведем замену переменой х = , т.о. получаем функцию:

при 0 < х / < p.

при - p < х / £ 0,

f (x) =

Найдем коэффициенты Фурье.

а ₀ = dx ^/ + dx ^/ = 3/2.

a_n = cos nx ^/ dx ^/ + ×cos nx ^/ dx ^/ = =

= + = nx ^/ dx ^/ =

n – нечетное.

n – четное

= [1–(–1)ⁿ] =

b_n = sin nx ^/ dx ^/ + ×sin nx ^/ dx ^/ = sin nx ^/ dx ^/ = – .

Следовательно, f (x) = + cos[(2k+1)(x–1)p] – sin[ np (x –1)].