Теорема 4 (Дирихле)

Если функция f (x) имеет на интервале (-p; p) лишь конечное число максимумов и минимумов и непрерывна, за исключением, м.б., конечного числа точек разрыва 1-го рода, то f (x) разлагается в ряд Фурье, сходящийся в точках непрерывности к самой функции, а в точках ее разрыва – к значению . (без доказательства)

В силу основной теоремы, если ряд является рядом Фурье функции f (x), можно написать:

f (x) = + (a_n cos nx + b _n sin nx) (1.14)

Пример 1: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2p:

f (x) =

Решение:

Из определения f (x) следует, что она удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье, поэтому f (x) разлагается в ряд Фурье. (См. рис. 1.)

Рис. 1.

По формулам (1.11)-(1.13) находим коэффициенты Фурье:

а ₀ = = = = а/p.

а_n = = = = , при n ¹ 0.

Замечание.

Если n = 0, то для вычисления а_n поступаем следующим образом: рассмотрим предел при n ®0

= = = ,

b_n = = = – = – + = , при n ¹ 0.

Следовательно,

f (x) = .

В интервале [-p; p] ряд сходится к функции f (x), в точках х = ± p к 0: (1/2 [ f (–p+0) + f (p –0)] = 0), в точках х = a, x = 0 к 1/2: (1/2 [ f (х -0) + f (х +0)] = =1/2).