Интеграл Фурье и двойной интеграл Фурье

Определение 15. Функция f (x) называется кусочно-гладкой на отрезке [а,b], если: 1) она непрерывна на этом отрезке или имеет конечное число точек разрыва первого рода; 2) этот отрезок можно разбить на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых f (x) обладает непрерывной производной, т.е. является гладкой.

Определение 16. Функция f (x) называется абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, если сходится несобственный интеграл от ее модуля

Теорема 11. Если f (x) имеет на каждом конечном интервале не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на (-∞, ∞), то в каждой точке x,в которой f (x) дифференцируема, имеем:

f (x) = . (2.1)

Правая часть формулы (2.1) называется двойным интегралом Фурье функции f (x).

Так как cos u (t – x) = cos ut ·cos ux + sin ut · sin ux, то (после внесения множителя 1/π) внутренний интеграл в формуле (2.1) можно преобразовать так:

где

u ≥ 0, (2.2)

u ≥ 0. (2.3)

Тогда (2.1) принимает вид:

(2.4)

Определение 17. Выражение, стоящее в правой части формулы (2.4), называется интегралом Фурье для функции f (x).

Таким образом, функция f (x) представляется своим интегралом Фурье во всех точках дифференцируемости. В точках разрыва левая часть формулы (2.4) должна быть заменена на ].

Замечание. В теореме 13 сформулировано достаточное условие представимости функции своим интегралом Фурье. Оно не является необходимым, представимость интегралом Фурье будет иметь место и при более общих условиях.

Формула (2.4) показывает, что интеграл Фурье можно рассматривать как континуальный аналог ряда Фурье: вместо суммирования по индексу n, пробегающему целые значения, мы имеем интегрирование по непрерывно изменяющемуся переменному u; вместо коэффициентов Фурье, зависящих от целого индекса n, мы имеем функции a (u), b (u) от непрерывно изменяющегося переменного u, определяемые формулами (2.2), (2.3).

Пример 8. Представить интегралом Фурье функцию

Решение:

Данная функция является кусочно-гладкой, так как она состоит из трех гладких частей: y = 0 на (-∞; 0), y = 1 на (0;1) и y = 0 на (1; ∞) и имеет две точки разрыва первого рода при x = 0, x = 1. Она абсолютно интегрируема на всей числовой оси, так как вне отрезка [0;1] она равна нулю, и интеграл от нее по всей числовой оси сведется к интегралу по отрезку [0;1]. Следовательно, такая функция может быть представлена интегралом Фурье.

По формуле (2.1) имеем

f (x) = =

В точках x = 0, x = 1, где функция терпит разрыв, полученное представление сохраняется, так как в этих точках ] = = f (x). В частности, при x = 0 получим

что равносильно равенству