Ряд Фурье в виде простых гармоник. Спектры

Практически любую периодическую функцию можно разложить на простые гармоники с помощью тригонометрического ряда (ряда Фурье):

f (x) = + (a_n cos nx + b_n sin nx), (*)

Запишем данный ряд в виде суммы простых гармоник, полагая коэффициенты равными a_n = A_n sin j_n, b_n = A_n cos j_n. Получим: a_n cos j _n + b_n sin j_n = A_n sin(nx + j_n), где

A_n = , tg j_n = . (**)

Тогда ряд (*) в виде простых гармоник примет вид f (x) = .

Ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенное дискретное значение.

Иногда n -ую гармонику записывают в виде a_n cos nx + b_n sin nx = A_n cos(nx – j_n), где a_n = A_n cos j_n, b_n = A_n sin j_{n .}

При этом A_n и j_n определяются по формулам (**). Тогда ряд (*) примет вид

f (x) = .

Определение 9. Операция представления периодической функции f (x) рядом Фурье называется гармоническим анализом.

Выражение (*) встречается и в другой, более употребительной форме:

Коэффициенты a_n, b_n определяются по формулам:

величина C ₀выражает среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей, которая вычисляется по формуле:

В теории колебаний и спектрального анализа представление функции f (t) в ряд Фурье записывается в виде:

(***)

т.е. периодическая функция представлена суммой слагаемых, каждое из которых есть синусоидальное колебание с амплитудой С_n и начальной фазой j_n, то есть ряд Фурье периодической функции состоит из отдельных гармоник с частотами, отличающимися друг от друга на постоянное число. Причем каждая гармоника имеет определенную амплитуду. Значения С_n и j_n должны быть надлежащим образом подобраны для того, чтобы равенство (***) выполнялось, то есть определяются по формулам (**) [ С_n = А_n ].

Перепишем ряд Фурье (***) в виде где w ₁ – основная частота. Отсюда можно сделать вывод: сложная периодическая функция f (t) определяется совокупностью величин С_n и j_n.

Определение 10. Совокупность величин С_n, то есть зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудным спектром функции или спектром амплитуд.

Определение 11. Совокупность величин j_n носит название спектра фаз.

Когда говорят просто “спектр”, то подразумевают именно амплитудный спектр, в остальных случаях делают соответствующие оговорки. Периодическая функция имеет дискретный спектр (то есть она может быть представлена в виде отдельных гармоник).

Спектр периодической функции можно изобразить графически. Выберем для этого координаты С_n и w = nw ₁. Спектр будет изображен в этой системе координат совокупностью дискретных точек, т.к. каждому значению nw ₁ соответствует одно определенное значение С_n . График, состоящий из отдельных точек, неудобен. Поэтому принято изображать амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (рис. 2).

Рис. 2.

Этот дискретный спектр часто называют линейчатым. Он - гармонический спектр, т.е. состоит из равноотстоящих спектральных линий; частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях. Отдельные гармоники, в том числе первая, могут отсутствовать, т.е. амплитуды их могут равняться нулю, но это не нарушает гармоничности спектра.

Дискретные, или линейчатые, спектры могут принадлежать как периодическим, так и непериодическим функциям. В первом случае спектр обязательно гармонический.

Разложение в ряд Фурье может быть обобщено на случай непериодической функции. Для этого надо применить предельный переход при Т®∞, рассматривая непериодическую функцию как предельный случай периодической при неограниченно возрастающем периоде. Вместо 1/ Т введем круговую основную частоту w ₁= 2p/ Т. Эта величина – есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны 2p n / Т. Если Т ® ∞, то w ₁ ® dw и 2p n / Т ® w, где w – текущая частота, изменяющаяся непрерывно, dw – ее приращение. При этом ряд Фурье перейдет в интеграл Фурье, который представляет собой разложение непериодической функции в бесконечном интервале (–∞;∞) на гармонические колебания, частоты которых w непрерывно меняются от 0 до ∞:

Непериодическая функция имеет непрерывный или сплошной спектры, т.е. вместо отдельных точек спектр изображается непрерывной кривой. Это получается в результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье: интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, линии сливаются, и вместо дискретных точек спектр изображается непрерывной последовательностью точек, т.е. непрерывной кривой. Функции a (w) и b (w) дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты w.