Классификация движений

Формулы показывают, что существуют 2 рода движений: движение I рода (Е = 1)

движение II рода (Е = -1)

Прежде, чем рассматривать дальнейшую классификацию движения, рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Параллельный перенос.

Пусть дан а. Параллельный перенос обозначают: Па: (1)

Найдем аналитическое выражение параллельного переноса. Выберем

(1) Па:

Найдем род этого движения

параллельный перенос есть движение I рода

2. Поворот вокруг точки О на угол j.

Пусть на плоскости задана т. О и j - ориентированный угол.

Df: поворотом вокруг т. О на угол j называется преобразование, которое каждой т.М ставит в соответствие точку M’, что

О – центр.

Найдем аналитическое выражение поворота. Пусть , О – центр поворота.

Пусть

Спроектируем т. М и M’ на оси x,y

Из (1)

Из

(2)

(3)

(3) – аналитическое выражение поворота вокруг начала координат

Найдем род этого движения:

- движение 1^го рода

3. Отражение от прямой (осевая симметрия).

Пусть дана прямая l

Df: Отражением от прямой е обозначается G_e и называется преобразование, которое каждой т. М ставит в соответствие такую т. М’, что выполняются 2 условия: 1)

2) середина [MM’]

Выведем на плоскости , что (совпадает)

Пусть

Из того, что (1)

С – середина

(2)

(1), (2)

Выясним род этого движения

- движение 2^го рода.

4. Скользящее отражение.

Пусть дана прямая l и a || l

Df: Скользящее отражение называется произведение отражения прямой l на параллельный перенос и обозначается:

Пусть

(1)

Па (2)

(1)®(2), получим формулы, задающие скользящие отражение:

Выясним род этого движения: - движение 2^го рода

Th1: (теорема Шария)

Любое движение 1^го рода является либо параллельным переносом, либо поворотом, при этом, тождественное преобразование плоскости можно рассматривать как перенос на нулевой вектор, или поворот на нулевой угол.

Доказательство:

Пусть f – движение 1^го рода

(*)

Рассмотрим возможные расположения точек А, В, С

1.

а). (1)

(2)

(1), (2)

Тогда П_а=АВ: (*)

Согласно Th наше движение 1^го рода будет параллельным переносом.

б). (*) , (3)

(1)

(1), (3)

середина отрезка АВ. Тогда (*)

Т.к. поворот движения 1^го рода, т.е. соотношение (*), то наше движение совпадает с поворотом.

2.

.Обозначим через ось симметрии отрезка АВ (это серединный перпендикуляр); через - ось симметрии отрезка ВС.

Т.к.

Рассмотрим поворот вокруг т. О

на угол (*)

из соотношения (*)

Th: (теорема Шарля)

Любое движение 2^го рода есть либо отражение от прямой, либо скользящее отражение.

Доказательство:

Пусть f – движение 2^го рода

(*)

^{---------------------------------}

(1)

Рассмотрим возможные расположения т А, В, С

1).

а). (2)

(1), (2) (3)

Рассмотрим симметрию относительно :

Рассмотрим параллельный перенос на а = АВ

(**)

т.к. движения, род которого известен, определяется 2 парами соответственных точек, то из (*), (**)

б). (4)

(1), (4) Пусть О – середина отрезка АВ

- ось симметрии [ AB ]

(***)

из (*), (***)

В этом случае Th верна

2).

(1) - равнобедренный

средняя линия

Рассмотрим симметрию

относительно

Рассмотрим

(5)

С учетом теорем Шарля и формул, аналитически определяющих движение, можно построить следующую таблицу, классифицирующую движение плоскости.

Лекция 24