Решение. По схеме, построенной в произвольном масштабе, но с соблюдением её геометрии по горизонтальным углам

По схеме, построенной в произвольном масштабе, но с соблюдением её геометрии по горизонтальным углам, получим длины отрезков S в мм и в метрах: S₁ = 72,5 мм (3625 м); S₂ = 54,0 мм 2700 м); S₃ = 51,3 мм (2565 м); S₄ = 59,2 мм (2960 м).

По формуле (7.37) вычислим значения градиентов (q₁ = 56,9; q₂ = 76,4; q₃ = 80,4; q₄ = 69,7) и построим их величины на схеме по соответствующим сторонам в условно выбранном масштабе. Получатся точки 1, 2, 3 и 4. В результате образованы два инверсионных треугольника 123 и 234.

Построим в инверсионных треугольниках высоты h_i и графически в масштабе q измерим их значения: h₁ = 91,0; h₂ = 90,0; h₃ = 97,0; h₄ = 132,0.

Принимая m_β = 2,0" (здесь необходимо учитывать фактическую точность измерения углов), по формулам (7.38) вычислим значения средних квадратических погрешностей: М₁ = 0,030 м; М₂ = 0,027 м.

Поскольку М₂ меньше М₁, то целесообразно для вычисления координат точки М использовать второй инверсионный треугольник (234), т.е. использовать для вычислений координат исходные точки В, С и D.

Далее решаем задачу по формулам Молочкова (7.35) и (7.36) для установленных исходных пунктов:

= + 3004,8784;

= - 1380,3631;

= - 6035,5272;

= - 5064,8938;

= - 2,453611348;

3400,759 м,

= 3400,759 м,

= 6645,210 м.

Контроль привязки выполняем по направлению на четвёртый исходный пункт А.

Из решения обратной геодезической задачи найдем дирекционные углы направлений MА и МВ: ; . Проверяем разность : .

Как видим, различие составляет всего 0,5", что для данных условий вполне допустимо.

Аналитическая оценка точности определения координат точки М по формуле (7.40) дает значение М = 0,0279 м = 28 мм. Все параметры, входящие в формулу (7.40), получены из решения обратной геодезической задачи по соответствующим направлениям (; S₂ = 2603,263 м; S₃ = 2412,376 м; S₄ = 3120,785 м; L₃ = 3268,047 м; L₄ = L_СD = 5185,992 м). При этом значение М вычислено с учётом определения координат через исходные пункты В, С и D по формуле

.

Аналогичная задача привязки точки М (задача обратной однократной засечки) может быть решена по формулам И.Ю.Пранис-Праневича. Она решается для трёх исходных пунктов и двух измеренных горизонтальных углов в определяемой точке. Например, в соответствии со схемой рис. 7.8, для исходных пунктов А, В и С и измеренных углов β₁ и β₂ координаты точки М вычисляют по формулам:

, (7.41)

, (6.42)

где

;

.

Пример 7.7. Обратная однократная засечка (использование формул И.Ю.Пранис-Праневича).

Исходные данные примера 7.6.

Решение (для исходных пунктов А, В и С).

ctg α_BM = (- 2789?170172)/(-4651,097936) = +0,599679949 (третья четверть – ЮЗ).

N = 398,5895246 + (- 3434,064933) = - 3035,475409.

Х_М = 3400,754 м; Y_М = 6645,212 м.

Различия в значениях координат точки М по сравнению со значениями, полученными в примере 7.6, объясняются другими погрешностями измерений в схеме АВС по сравнению со схемой ВСD.

Такая же задача способом обратной однократной засечки может быть решена по измеренным направлениям (рис. 7.9) по формулам Деламбера.

Рис. 7.9. Обратная однократная угловая засечка

по измеренным направлениям.

Для указанной засечки необходимо иметь четыре исходных пункта, наблюдаемых с точки М. Горизонтальные измеренные углы β приводят к какому-либо начальному направлению на исходный пункт, например, на пункт А. Значения координат точки М вычисляют дважды по двум последовательным схемам: АВС и ВСD. При этом в схеме АВС за начальное направление принимают МА, а в схеме BCD – МВ. Из схемы АВС:

, (7.43)

, (7.44)

где

;

; ; .

Аналогичные формулы, в соответствии со схемой привязки, составляют и для группы точек BCD.

Пример 7.8. Обратная однократная засечка по измеренным направлениям.

Исходные данные (см. пример 7.6).

Решение (для схемы АВС).

В соответствии с рис. 7.8 и 7.9, в схеме АВС

β₁ = 84⁰41'48"; β₂ = 165⁰55'13"; β₃ = 304⁰45'29";

Тогда tg α_АМ = -1,363648006 (вторая четверть – ЮВ), α_АМ = 126^о15'13"; α_ВМ = 210^о57'01"; α_СМ = 292^о10'26"; α_DМ = 71^о00'42".

В результате получены значения координат Х_М = 3400,754 м, Y_М = 6645,212 м. То есть такие же, как и при вычислениях по формулам И.Ю.Пранис-Праневича.

73.5. Комбинированные засечки

Кроме рассмотренных выше схем привязки используются схемы комбинированной засечки (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Комбинированные засечки.

В схеме рис. 7.10 а положение точки М определяют способом обратной угловой засечки по углам β₁ и β₂ и для контроля – способом прямой угловой засечки по углам β₃ и β₄. При этом, например, угол β₄ можно не измерять, а вычислить из треугольника АВМ по углам β₁ и β₃.

В схеме рис. 7.10 б дважды вычисляют дирекционный угол линии ВМ от направлений АВ и ВС, находят его среднее значение. Используя затем углы β₁ и β₂, находят дирекционные углы линий МD и МЕ. Далее по формулам Гаусса вычисляют координаты точки М из двух вариантов: относительно пунктов В и Е и затем пунктов В и D.

Часто привязку целесообразно выполнять для двух точек одновременно, включённых в определяемую линию теодолитного или полигонометрического хода. Такие привязки используются, например, в схемах, приведённых на рис. 7.10 в, г, д.

В схеме рис. 7.10 в координаты точек М₁ и М₂ определяют обратной засечкой по трём исходным пунктам, а координаты вспомогательной точки D – прямой засечкой с точек М₁ и М₂ и одного исходного пункта. Обычно координаты точки D определяют с пунктов М₁ и А по формулам Юнга, а

относительно точек М₁ и М₂ – по формулам тангенсов или котангенсов (контрольное вычисление).

Схемы рис. 7.10 г и д используют при густой сети исходных пунктов.

В схеме рис. 7.10 г координаты точки М₁ определяют по четырём исходным пунктам, а координаты точки М₂ по трём исходным пунктам и точке М₁. В схеме рис. 7.10 д, при отсутствии видимости между определяемыми пунктами, выбирают вспомогательную точку D. При этом координаты точек М₁ и М₂ находят по трём исходным пунктам, а координаты точки D – прямой засечкой с точек М₁ и М₂ и одного исходного пункта.

Рис. 7.11. Геодезический четырехугольник.

Рис. 7.12. Задача П.А.Ганзена.

Схема рис. 7.11 представляет собой т.н. геодезический четырехугольник. При этом в указанной схеме подбирают такое положение точек M и N, чтобы все углы, кроме β₁, были не менее 20⁰. В замкнутом треугольнике BCD при использовании линии MD в теодолитном ходе, угловая невязка не должна превышать 1,5'. Сначала, после уравнивания углов β₂, β₄, β₅ и β₇, вычисляют координаты точки D, а затем, из двух вариантов по формулам прямой угловой засечки, координаты точки М.

73.6. Задача П.А.Ганзена

Такую задачу (задачу о двух точках) решают при наличии всего двух исходных пунктов (рис. 7.12).

В этой схеме измеряют углы β₅, β₆, β₇, и β₈ при определяемых точках М и С. Из треугольников АСМ и ВСМ вычисляют углы β₃ и β₄. Значения углов β₁ и β₂ находят по формулам:

, (7.45)

. (7.46)

Контролем вычислений является равенство: β₁ + β₂ = β₇ + β₈.

Далее решают прямые угловые засечки из треугольников АМВ и АВС. Для контроля вычисляют дирекционные углы линии СМ и направлений с определяемых точек на исходные пункты. По разностям дирекционных углов контролируют значения углов β.