Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости

Именно – на плоскости. Потому что есть прямая и обратная геодезические задачи на земном эллипсоиде. Вам придется их решать в курсе «Высшей геодезии». Тогда Вы и познаете большую разницу. Кривизна Земли, её форма дадут это почувствовать.

Название «прямая» и «обратная» геодезические задачи несколько условные, но уже теперь традиционно принятые в геодезии и маркшейдерии раз и навсегда. Просто одну из задач назвали прямой, при решении которой находят координаты точек местности, а другую – обратной, при решении которой …

Давайте не будем забегать вперед.

Прямая геодезическая задача.

Пусть нам известны координаты точки 1 (Х₁, Y₁), горизонтальное проложение линии 1-2 d₁₂ и её дирекционный угол α₁₂ (рис. 7.3). Требуется найти координаты точки 2. Таковы условия прямой геодезической задачи.

Рис. 7.3. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости.

Прямая геодезическая задача используется для определения координат точек местности, в частности, при определении координат точек теодолитных ходов. Поскольку указанная задача решается на плоскости (в проекции Гаусса-Крюгера), то треугольник 123 является прямоугольным. Линия 1-2 ориентирована (на рисунке) в круговой (α) и четвертной (r) системах. Параметры Δ Х и Δ Y называют приращениями координат. Исходя из геометрии и принятой системы координат можно записать, что

. (7.1)

Очевидно, что приращения координат должны иметь знак «плюс» или «минус», поскольку координаты точки 2 могут быть больше или меньше координат точки 1. Не обращая внимания на знаки приращений координат, запишем из прямоугольного треугольника

. (7.2)

Принимая во внимание схему рис. 6.3, запишем, что

, (7.3)

т.е. знаки приращений координат определяются знаками функций sin и cos соответствующих дирекционных углов. Тогда для общего случая формулы (7.1) примут вид

. (7.4)

Пример 7.1. Прямая геодезическая задача.

Исходные данные: Х₁ = 4256,324 м; Y₁ = 7830,042 м; α₁₂ = 248^о39'42"; d₁₂ = 211,656 м.

Найти координаты точки 2.